Problema 152

Dos números consecutivos de dos cifras cumplen que su suma coincide con el número que se obtiene al invertir el orden de las cifras del mayor de ellos.

¿Cuáles son dichos números?

Solución:

Suponemos que el menor de ellos es el número  n = ab. Es decir, que n = 10 a + b.

El otro número será n + 1 = 10 a + b + 1. 

Y, por tanto, la suma de ambos es:

n + n + 1 = (10 a + b) + (10 a + b + 1) = 20 a + 2 b + 1

Como esta suma coincide con el que se obtiene al invertir las cifras del mayor, coincidirá con el número cuya cifra de las decenas es    b + 1 y cuya cifra de las unidades es a; es decir, coincidirá con 10 (b + 1) + a.

De esta forma:

20 a + 2 b + 1 = 10 (b + 1) + a

20 a + 2 b + 1 = 10 b + 10 + a

19 a - 8 b - 9 = 0

19 a – 9 = 8 b

b = (19 a – 9)/8

Como a y b son dígitos, sólo pueden tomar valores naturales entre 0 y 9.

Si a = 0, b no es natural pues b = - 9/8.

Podemos comprobar que ocurre lo mismo para los valores de a distintos de 3. Sólo si a = 3 se obtiene un valor natural para b, que es b = 6.

Por tanto, los números son 36 y 37.

Suma y resta de polinomios.

Llamamos monomios semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal (las mismas variables y elevadas a las mismas potencias).

Ejemplos:

a)Son semejantes los monomios M (x) = 8 x² y N (x) = - 6 x².

b)Son semejantes los monomios M (x) = 5 a² b³ y N (x) = 2 a² b³.

c)No son semejantes los monomios M (x) = x² z³ y N (x) = 2 x³ z².

Cuando dos o más monomios son semejantes, los podemos sumar o restar teniendo en cuenta que se puede extraer como factor común la parte literal de todos ellos.

Así, 4 x³ + 5 x³ - 6 x³ = (4 + 5 - 6) x³ = 3 x³.

Por tanto, al sumar dos o más monomios semejantes se obtiene otro monomio semejante a ellos y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de todos ellos.

Teniendo en cuenta lo anterior, deducimos que para sumar dos o más polinomios en una variable debemos sumar entre sí los monomios del mismo grado que los componen.

Ejemplo:

Sean P (x) = 7 – 8 x + 5 x³ y Q (x) = 6 x + 5 x² – x³ + 4 x⁴.

Sumando los monomios del mismo grado entre sí, deducimos que la suma de los polinomios es:

P (x) + Q (x) = 7 + (- 8 + 6) x + 5 x² + (5 – 1) x³ + 4 x⁴ =

= 7 – 2 x + 5 x² + 4 x³ + 4 x⁴

Teniendo en cuenta que la suma de números reales es conmutativa, es fácil observar que la suma de polinomios cumple la propiedad conmutativa.

Ejemplo:

Si nos fijamos en el ejemplo anterior, tenemos que:

P (x) + Q (x) = (7 – 8 x + 5 x³) + (6 x + 5 x² – x³ + 4 x⁴) =

= 7 + (- 8 + 6) x + 5 x² + (5 – 1) x³ + 4 x⁴ =

= 7 + (6 - 8) x + 5 x² + (- 1 + 5) x³ + 4 x⁴ =

= (6 x + 5 x² – x³ + 4 x⁴) + (7 – 8 x + 5 x³) = Q (x) + P (x)

También existe el elemento neutro para la suma de polinomios. Es el denominado polinomio nulo, es decir, aquel cuyos coeficientes son todos iguales a cero.

Para realizar la suma de varios polinomios, es práctico ordenarlos todos de forma creciente o decreciente, completando con ceros aquellos términos de los grados que no aparezcan y colocarlos uno encima de otro, de forma que podamos sumar por columnas los monomios del mismo grado.

Ejemplo:

Vamos a sumar los tres polinomios siguientes:

P (x) = 4 – 2 x² + 3 x⁴

Q (x) = 3 x + x³ – x⁴

R (x) = 5 x⁴ – 3 x³ + 6 x – 6

Ordenamos en orden creciente de su grado los polinomios y completamos aquellos términos cuyo grado no aparece en cada uno de los polinomios:

P (x) = 4 + 0 x – 2 x² + 0 x³ + 3 x⁴

Q (x) = 0 + 3 x + 0 x² + x³ – x⁴

R (x) = - 6 + 6 x + 0 x² – 3 x³ + 5 x⁴

Colocamos uno encima de otro y sumamos por columnas:

Así, P (x) + Q (x) + R (x) = -   2 + 9 x – 2 x² – 2 x³ + 7 x^4.

Suma de radicales.

Se pueden sumar varios radicales cuando todos ellos tienen el mismo índice y el mismo radicando. La operación se realiza extrayendo como factor común el radical que se repite; es decir:

Ejemplos:

A veces, a simple vista parece que no puede efectuarse la suma porque los radicales son distintos y, sin embargo, son equivalentes; es decir, que podemos simplificarlos y extraer factores de forma que la suma puede realizarse.

Ejemplo:

Problema 146

Encuentra el valor de la suma de los coeficientes del polinomio que resulta al operar y simplificar en la expresión siguiente:

(2 – 4x + 4x⁶)⁸ · (1 + 5x² – 5x⁸)²⁸

Solución:

La resolución del problema estriba en darse cuenta de que la suma de los coeficientes de un polinomio coincide con el valor numérico del polinomio en x = 1.

Así, en este caso, la suma de coeficientes buscada es:

(2 – 4·1 + 4·1⁶)⁸ · (1 + 5·1² – 5·1⁸)²⁸ =

= (2 – 4 + 4)⁸ · (1 + 5 – 5)²⁸ =

= 2⁸ · 1²⁸ = 2⁸ = 256

Problema 135

Se escribe una lista de diez números enteros positivos y consecutivos,  en orden creciente, de forma que la suma de los cuatro primeros es 38.

¿Cuánto vale la suma de los dos últimos números de la lista?

Solución:

Sean n, n + 1, n + 2 y n + 3, los cuatro primeros números de dicha lista.

Como su suma es 38, resulta la siguiente igualdad:

n + n + 1 + n + 2 + n + 3 = 38

Simplificando esta expresión, obtenemos que 4 n + 6 = 38; es decir, que 4 n = 32.

Despejando el valor de n, se obtiene que n = 32/4 = 8.

Los números que ocupan los lugares noveno y décimo de dicha lista son n + 8 y n + 9. Por tanto, son el 16 y el 17.

Así, la suma de los dos últimos números de la lista es:

16 + 17 = 33

Suma en notación científica.

Para sumar dos o más números expresados en notación científica se utiliza el procedimiento de extraer factor común. Lo que tienen en común los números expresados en dicha notación son las potencias de 10, por lo que para poder efectuar la suma hay que asegurarse previamente de que el exponente de esas potencias sea el mismo.

Distinguimos entonces dos casos.

1º. Si los números que se van a sumar tienen la misma potencia de 10, simplemente la sacamos como factor común. Después, nos aseguramos de expresar el resultado en notación científica.

Ejemplo:

5,1 · 10⁴ + 7,12 · 10⁴ + 2,15 · 10⁴ =

= (5,1 + 7,12 + 2,15) · 10⁴ =

= 14,37 · 10⁴

Como el resultado no está en notación científica, lo transformamos.

14,37 · 10⁴ = 1,437 · 10⁴ · 10 = 1,437 · 10⁵

Así:

5,1 · 10⁴ + 7,12 · 10⁴ + 2,15 · 10⁴ = 1,437 · 10⁵

2º. Si los números que se van a sumar no tienen todos la misma potencia de 10, los transformamos para conseguir que la tengan y luego procedemos como en el caso anterior.

Ejemplo:

2,1 · 10³ + 4,82 · 10⁴ + 5,14 · 10⁵ =

= 0,21 · 10⁴ + 4,82 · 10⁴ + 51,4 · 10⁴ =

= (0,21 + 4,82 + 51,4) · 10⁴ =

= 56,43 · 10⁴

Como el resultado no está en notación científica, lo transformamos.

56,43 · 10⁴ = 5,643 · 10⁴ · 10 = 5,643 · 10⁵

Así:

2,1 · 10³ + 4,82 · 10⁴ + 5,14 · 10⁵ = 5,643 · 10⁵

Para leer sobre la expresión de un número en notación científica, pincha en el enlace siguiente:

http://miblogssiempremaths.blogspot.com.es/2015/07/notacion-cientifica.html

Actividad 4 con el ábaco.

Calcula la suma de los números representados en los ábacos siguientes:

Solución:

Actividad 2 con el ábaco.

Tenemos tres números representados en los ábacos siguientes:

Si a cada uno de ellos le sumamos el número cuya representación es la que aparece en la figura D, representa el resultado correspondiente a cada caso en un ábaco diferente.

Solución:

Actividad con el ábaco.

Partimos de un ábaco en el que se ha representado un número, tal y como se muestra en la siguiente figura.

a)Si al número representado en el ábaco le sumamos 1 301, ¿cuál sería, de los dos siguientes, el ábaco que representa el resultado de efectuar dicha operación?

b)Si al número que tenemos en el ábaco inicial le restamos el número 355, ¿cuál sería, de los dos ábacos de las figuras siguientes, él que representa el resultado de efectuar dicha operación?

Solución:

a)Figura A

b)Figura D

Suma con el ábaco.

Una vez que se sabe posicionar las cuentas en cada una de las varillas para representar el número que deseamos (se puede ver el modo de hacer dicha representación pinchando en el siguiente enlace: http://miblogssiempremaths.blogspot.com.es/2015/06/representacion-de-numeros-en-el-abaco.html), vamos a estudiar la operación de la suma con el ábaco.

Para sumar en el ábaco debe tenerse en cuenta el mecanismo siguiente:

Sumar 1 =  añadir 5 y quitar 4 =  añadir 10 y quitar 9.

Sumar 2 =  añadir 5 y quitar 3 =  añadir 10 y quitar 8.

Sumar 3 =  añadir 5 y quitar 2 =  añadir 10 y quitar 7.

Sumar 4 =  añadir 5 y quitar 1 =  añadir 10 y quitar 6.

Sumar 5 =  añadir 10 y quitar 5.

Sumar 6 =  añadir 5 y añadir 1 =  añadir 10 y quitar 4.

Sumar 7 =  añadir 5 y añadir 2 =  añadir 10 y quitar 3.

Sumar 8 =  añadir 5 y añadir 3 =  añadir 10 y quitar 2.

Sumar 9 =  añadir 5 y añadir 4 =  añadir 10 y quitar 1.

La suma se convierte aquí en un problema de posicionamiento y gimnasia mental.

Supongamos que queremos sumar los números 358 y 921.

Se empieza representando uno de dichos números en el ábaco. Por ejemplo, el 358:

Al contrario que en la operación aritmética, aquí se empieza a sumar por la izquierda.

Según el mecanismo citado anteriormente, sumar 921 es equivalente a realizar los pasos siguientes:

1º. Sumamos 900. Para ello:

-      Añadimos una bola de 1000 (una bola del compartimento inferior correspondiente al 4º alambre)

-      Quitamos una bola de 100 (una bola del compartimento inferior correspondiente al alambre 3º, empezando por la derecha).

2º. Sumamos 20. Para ello:

Añadimos dos bolas de 10 (dos bolas del compartimento inferior correspondiente al   2º alambre, empezando por la derecha).

3º. Sumamos 1. Para ello:

-      Añadimos una bola de 1 (1 bola del compartimento inferior correspondiente al primer alambre empezando por la derecha).

Después de efectuar todos los pasos, el número que aparece en el ábaco sería el 1.279.

Inducción

Estrategia de inducción matemática                            

Es uno de los métodos más habitualmente utilizados para resolver situaciones relacionadas con los números naturales, y consiste en lo siguiente.

Si se desea demostrar una propiedad P que esté asociada a los números naturales, hay que probar:

a) El número 1 (o quizás otro) cumple dicha propiedad.

b) Si un número natural k cumple la propiedad P, también la cumple el número k+1.

Vamos a utilizar este método para resolver el problema siguiente:

¿Cuánto vale la suma de los n primeros números naturales?

Estudiaremos primero los casos para valores pequeños de n, llamando S_n a la suma que queremos encontrar.

-      n = 2, S₂ = 1 + 2 = 3

-      n = 3, S₃ = 1 + 2 + 3 = 6

-      n = 4, S₄ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

-      n = 5, S₅ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

-      n = 6, S₆ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

Si seguimos con algunos casos más, podemos darnos cuenta de que la suma del primer sumando con el último, es la misma que la del segundo con el penúltimo, y que la del tercero con el antepenúltimo, y así sucesivamente.

Por ejemplo: en S₆, 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4.

Así pues, en las sumas con un número par de sumandos bastaría con multiplicar la suma del primer y del último término por el número de parejas que se pueden formar.

Es decir:     

               

¿Pero será cierto para cualquier n, aunque no sea par?

Utilicemos el método de inducción:

a)Si n = 1: 

Si n = 2: 

b) Supongamos ahora, que esta fórmula es cierta para un número natural k.

Es decir, partimos de que es cierto que si k es un número natural se cumple que:

Debemos probar entonces, que también es cierto para el número k + 1.

Está claro que   S_k+1 = S_k + k + 1, y como conocemos el valor de S_k vamos a sustituirlo en esta expresión:

Factorizamos el polinomio  k² +3 k +2, igualándolo a cero y resolviendo la ecuación que se obtiene:

Luego:

k² + 3 k +2 = (k + 1) (k + 2)

Si tenemos en cuenta esta factorización, la expresión de S_k+1 quedaría de la forma:

Así pues, la fórmula en cuestión es también cierta para k + 1.

Queda demostrado por tanto, que la suma de los n primeros números naturales es:

Problema 89

Un número de tres cifras distintas que suman 9,cumple que es igual a la suma de los cubos de los dígitos que lo forman. Sabiendo que es menor que 300, ¿de qué número se trata?

Solución:

Consideramos los cubos de los dígitos comprendidos entre el 0 y el 9:

Las únicas combinaciones de tres dígitos distintos que sumen 9 son las siguientes (independientemente del orden que ocupen en el número):

0,1,8   0,2,7   0,3,6   0,4,5   1,2,6   1,3,5   1,8,0   2,3,4   

Tenemos que desechar los dígitos 7, 8 y 9, ya que sus cubos son mayores que 300.

De esta forma, la lista anterior se reduce a:

0,3,6   0,4,5   1,2,6   1,3,5   2,3,4   

Si sumamos sus cubos en cada una de las combinaciones obtenemos:

0³ + 3³ + 6³ = 243

0³ + 4³ + 5³ = 189

1³ + 2³ + 6³ = 225

1³ + 3³ + 5³ = 153

2³ + 3³ + 4³ = 99

Se observa que el único número que es igual a la suma de los cubos de sus cifras es el 153.

Problema 73

Dos números positivos suman 31 y su producto es 240. ¿Cuánto suman sus cuadrados?

Solución:

Si a+b = 31 y a·b = 240, utilizando el cuadrado de una suma, obtenemos que:

a² + b² = (a + b)² – 2a·b = 31² – 2·240 = 961 – 480 = 481

Optimización

Descomponer el número 45 en dos sumandos tales que la suma del doble del cuadrado del primero más siete veces el cuadrado del segundo, sea mínima.

Solución:

Si x es el primer sumando, el otro será 45-x.

La función que queremos minimizar es:

S(x) = 2x²+7(45-x)² = 2x²+14175+7x²–630x = 9x²–630x+14175

Igualamos la derivada  cero y obtenemos la ecuación de segundo grado 18x-630=0, cuya solución es 35.

Como la segunda derivada de la función suma es S´´(x)= 18, se tiene que S´´(35)>0. Así, si x=35, la suma mencionada es mínima.

Luego, para que la suma sea mínima, el número 45 hay que descomponerlo en los sumandos 35 y 10. 

Problema 69

Con seis dígitos comprendidos entre el 1 y el 9 se ha formado un número de seis cifras abcdef que cumple las condiciones siguientes:

• Todas sus cifras son distintas.
  
• La suma de sus tres primeras cifras es 12.
• La suma de sus tres últimas cifras es 15.
• El número ab es múltiplo de 2, el bc es múltiplo de 3, el cd es múltiplo de 4, el de es múltiplo de 5 y el ef es múltiplo de 6.

¿De qué número se trata?

Solución:

Por ser múltiplo de 5, de debe terminar en 0 o en 5; pero como las cifras están entre 1 y 9, se tiene que e = 5.

Entonces, 5f es múltiplo de 6 y, como el único múltiplo de 6 de dos cifras que empieza por 5 es 54, se deduce que f = 4.

Como la suma de las tres últimas cifras ha de ser igual a 15, resulta que d = 6.

Ya sabemos que el número es abc654.

Teniendo en cuenta que c6 es múltiplo de 4, se distinguen dos posibilidades: c = 1 o c = 3.

- Si c = 1, como b1 es divisible por 3, necesariamente ha de cumplirse que b = 2. Y como la suma de las tres primeras cifras es 12, se deduce que a = 9. En este caso, ya tendríamos el número completo, que es el 921654.

- Si c = 3, como b3 es múltiplo de 3, resulta que b3 = 33 o b3 = 63 o b3 = 93. Los dos primeros casos no son posibles ya que no pueden repetirse cifras y, por tanto, debería ser b = 9. Pero como la suma de las tres primeras cifras ha de ser igual a 12, debería cumplirse que a = 0, lo cual tampoco es posible.

Por tanto, el único número que cumple todas las condiciones dadas es el 921654.