PRUEBAS
DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD–MURCIA–JUNIO-2015
MATEMÁTICAS
APLICADAS A LAS C.C.SS. II
OPCIÓN
A
CUESTIÓN A1. Dadas las matrices:
a)Calcula Bt
+ 2C.
b)Halla la matriz X que
cumple AX = Bt + 2C, siendo:
Solución:
a)
b)
Este sistema es
equivalente a:
Por tanto:
CUESTIÓN A2. Dada la función:
calcula:
a)Los intervalos de
crecimiento y decrecimiento.
b)Los máximos y los
mínimos relativos.
c)Los puntos de corte
con los ejes.
Solución:
a)Al tratarse de una
función polinómica, el dominio es el conjunto de todos los números reales. Para
hallar los intervalos de monotonía, igualamos a cero la derivada de la función
y resolvemos la ecuación que se obtiene:
f´(x) = 0
x – x2 = 0
x(1 – x) = 0
Las soluciones de la
ecuación son x = 0 y x = 1, puntos en los que puede haber extremos relativos.
Si x < 0, x(1 – x)
< 0, es decir, f´(x) < 0
Si 0 < x < 1, x(1
– x) > 0, es decir, f´(x) > 0
Si x > 1, x(1 – x)
< 0, es decir, f´(x) < 0
Así:
f(x) es estrictamente creciente en el
intervalo (0, 1) y es estrictamente decreciente en los intervalos (- ∞,0) y (1,
+ ∞)
b)Los puntos en los que
se anula la derivada de la función f(x) son x = 0 y x = 1. Vemos el signo que toma la
segunda derivada de la función en estos puntos:
f´´(x) = 1 – 2x
f´´(0) = 1 > 0, por
lo que se alcanza un mínimo relativo
f´´(1) = - 1 < 0, por
lo que se alcanza un máximo relativo
Además, f(0) = 0 y f(1)
= 1/2 - 1/3 = 1/6, luego tenemos un mínimo
relativo que es el punto (0, 0) y un
máximo relativo que es el punto (1, 1/6).
c)El punto de corte con
el eje Y es el que corresponde al valor de x = 0, es decir el punto (0, 0).
Calculamos los puntos
de corte con el eje X, para lo que debe cumplirse que f(x) = 0.
Así, los puntos de
corte con el eje X son: (0,0) y (3/2, 0).
CUESTIÓN A3. Halla una primitiva F(x) de la función
f(x) que cumpla que F(1) = 0, siendo f(x) = x3 – 2x2 + x
– 2.
Solución:
Hallamos la integral
indefinida de f(x):
La primitiva F(x) será
aquella cuyo valor de K haga que se cumpla la condición pedida.
Por tanto:
CUESTIÓN A4.
La probabilidad de aprobar la asignatura
A es 2/3 y la de aprobar la asignatura B es 1/2. Además, la probabilidad de
aprobar las dos es 1/4.
a)Halla la probabilidad
de no aprobar ninguna de las dos asignaturas
b)Calcula la
probabilidad de aprobar A pero no B.
Solución:
Si P(A)= 2/3 es la
probabilidad de aprobar A, la de no aprobarla es P(Ac) = 1 – 2/3 =
1/3.
Análogamente, si P(B)=
1/2 es la probabilidad de aprobar B, la de no aprobarla es P(Bc) = 1
– 1/2 = 1/2.
Sabemos además, que la
probabilidad de aprobar A y B es 1/4. Así, podemos colocar estos datos en la
tabla siguiente:
Y, a partir de ellos,
completamos los datos que faltan en la tabla:
Por tanto, ya tenemos
las soluciones de ambos apartados:
a) La probabilidad de no aprobar ninguna de las
dos asignaturas es 1/12.
b) La probabilidad de aprobar A pero no B es
5/12.
CUESTIÓN A5.
Un estudio sociológico afirma que la
proporción de estudiantes de una población es 2/5. Si en una muestra aleatoria
de 700 individuos de la población hay 100 estudiantes, ¿puede admitirse a un
nivel de confianza del 99% la afirmación del estudio?
Solución:
Se trata de un
contraste de hipótesis bilateral, con las siguientes hipótesis:
Como en la muestra de n
= 700 individuos de la población hay 100 estudiantes, tenemos que:
Como el nivel de
confianza es del 99%, tenemos que:
Utilizando la tabla de
la distribución normal, resulta:
Por tanto, el intervalo
de aceptación es (- 2,575, 2,575).
Calculamos el
estadístico de contraste para ver si pertenece o no a dicho intervalo:
Este valor no pertenece
al intervalo de aceptación y, por ello, se
rechaza la hipótesis de que la proporción de estudiantes de la población es de
2/5.
