Problema 79

Una empresa fabrica envases para productos líquidos utilizando cartón reciclable y tratando de presentar diseños originales que llamen la atención de sus clientes.

El último pedido que les hizo una envasadora de zumos estaba formado por recipientes en forma de prisma triangular cuya base era un triángulo equilátero de 36 centímetros cuadrados de superficie, y con una altura de 12 centímetros.

Ahora la misma envasadora quiere que le fabriquen envases en forma de prisma hexagonal, pero con las siguientes condiciones:

- El contorno de la base, un hexágono regular, ha de ser el mismo que en los envases de base triangular.

- El volumen de líquido que quieren envasar en el nuevo modelo es el mismo que el contenido en el modelo de base triangular.

¿Cuál debe ser la altura del nuevo envase?

Solución:

Si triangulamos un hexágono regular y un triángulo equilátero, ambos del mismo perímetro, observamos lo siguiente:

El triángulo contiene cuatro triángulos equiláteros pequeños, cuyo lado mide la mitad del lado del triángulo inicial. Sin embargo, el hexágono contiene seis de dichos triángulos pequeños. Por tanto, si S es la superficie del triángulo, la del hexágono es  S´ = 6S/4.

Aplicando esto a nuestro problema, la base del nuevo envase será un hexágono cuya superficie es S´= 6·36/4 = 54 cm².

El volumen del primer envase (área de la base por la altura del prisma) era 36·12 = 432 cm³, y este volumen debe mantenerse en el envase nuevo.

Como en este último acabamos de ver que la base mide 54 cm², deducimos que su altura debe ser 432:54 = 8 cm.

Actividad con geoplano triangular

Se considera en esta actividad un geoplano triangular, sobre el que se trazan triángulos equiláteros.

Llamamos unidad de longitud a la distancia entre dos puntos consecutivos del geoplano, tal y como se indica en las figuras siguientes:

Y llamamos unidad de superficie al área encerrada por un triángulo equilátero cuyo lado mide la unidad de longitud.

Observa los siguientes triángulos:

Haciendo un recuento de los puntos por los que pasa cada uno de los triángulos y teniendo en cuenta la superficie de cada uno de ellos, podemos empezar a rellenar la tabla que se presenta a continuación. Complétala tú.

Solución:

La tabla, ya completada, queda de la forma siguiente:

Geoplano

Caleb Gattegno, nacido en Alejandría en 1911 y fallecido en París en 1988, es muy conocido por sus métodos innovadores en la enseñanza de las Matemáticas y por sus inventos originales en cuestión de materiales pedagógicos. Entre estos materiales inventados por él está el geoplano, que fue utilizado por el mismo Gattegno para enseñar geometría a niños pequeños.

Puede definirse el geoplano como una superficie plana, en la que se disponen de manera regular una serie de puntos.

Dependiendo de cómo estén colocados dichos puntos se distinguen distintos tipos de geoplanos y, entre todos ellos, los que más se utilizan son el geoplano triangular, el cuadrado o cuadrangular y el circular.

Construcción de un geoplano cuadrangular.

El geoplano cuadrado más fácil de conseguir es un papel cuadriculado, considerando que los puntos son los vértices de los cuadraditos del papel, y trazando líneas o segmentos que unan dichos puntos para realizar las distintas actividades.

Sin embargo, para no estar desechando papel tras la realización de cada actividad, es muy fácil la construcción de un geoplano que valdrá para efectuar todas las actividades relativas al geoplano cuadrangular.

Sólo hay que conseguir una plancha cuadrada de madera o contrachapado, de al menos un centímetro de grosor, y unos cuantos clavos.

Sobre un papel de las mismas dimensiones que el tablero señalado anteriormente se dibuja una cuadrícula cuyo lado se haya establecido previamente. Hay que tener en cuenta que si el lado de las cuadrículas mide dos centímetros, por ejemplo, el tablero de madera deberá medir unos 25 centímetros para poder obtener un geoplano 10 por 10.

Una vez dibujada la cuadrícula, se sujeta el papel al tablero (puede hacerse con cinta adhesiva) y se clava en cada uno de los vértices de la cuadrícula un clavo. Hecho esto, se retira el papel y ya tendremos construido un geoplano cuadrangular.

Para construir las figuras que se requieran en cada actividad se utilizarán gomillas elásticas que se sujetarán en los clavos.

En todas las actividades se considerará que los vértices de los polígonos construidos deben estar situados sobre los puntos del geoplano.

Se llama unidad de longitud a la distancia entre dos puntos o vértices consecutivos situados en la misma fila o en la misma columna del geoplano.

Del mismo modo, se llama unidad de superficie al área de cada cuadradito de la cuadrícula determinado por cuatro puntos del geoplano.

De esta forma, se observa que el cálculo de superficies es fácil utilizando el geoplano, ya que basta con contar los cuadraditos que componen el polígono cuya área se quiera hallar.

A veces este recuento es muy fácil ya que la figura está compuesta por cuadraditos completos pero, otras veces, este cálculo puede complicarse un poco al contener la figura cuadraditos incompletos.

¿Matemáticas y" tiki-taka"?

La mayoría de las escuelas de fútbol enseñan a triangular a sus jugadores, aunque no es el triángulo la única figura geométrica que aparece con la sucesión de toques en el campo, ya que el enlace de sucesivos pases en línea recta origina diversos polígonos. Parece que la secuencia continuada de toques y la triangulación del terreno de juego, constituyen el fundamento del “tiki-taka” del que tanto hemos oído hablar, haciendo referencia al modelo de juego del F.C. Barcelona y de la Selección Española.

Sobre esta forma de juego se ha llevado a cabo una investigación matemática utilizando la Teoría de Redes ( teoría cuyo origen se relaciona con el problema de los puentes de Konigsberg, cuyo objetivo era hallar un camino que pasara por los siete puentes del río Pregel (Pregolya) en Kaliningrado (fundada con el nombre de Konigsberg)de forma que por cada uno de ellos pasara solo una vez). 

En el siguiente enlace puedes leer sobre esta investigación.

http://www.elconfidencial.com/tecnologia/2014-10-13/la-teoria-de-redes-desvela-los-secretos-del-tiki-taka_233426/