Multiplicación de un
polinomio por un número real.
Dado un polinomio
cualquiera P (x), para multiplicarlo por un número real m, se multiplica cada
uno de los coeficientes del polinomio por m. Es decir:
m· P (x) = m· (a0
+ a1 x + a2 x2 + … + an xn)
=
= m·a0 + m·a1
x + m·a2 x2 + … + m·an xn
Ejemplos:
a)3·(5 – 2 x + 7 x3
– x5) = 15 – 6 x + 21 x3 – 3 x5
b)- 6·(- 2 + 5 x2
– 4 x3) = 12 - 30 x2 + 24 x3
c)(2/3)·( 6 x + 9 x2
– 3 x3) = 4 x + 6 x2 – 2 x3
Multiplicación de un monomio
por un polinomio.
Para multiplicar un
monomio M (x) = am xm por un polinomio cualquiera P (x) =
a0 + a1 x + a2 x2 + … + an
xn, se multiplica el monomio M (x) por cada uno de los monomios que componen
el polinomio P (x), utilizando las propiedades de las potencias. Es decir:
M (x) · P (x) = (am xm)
· (a0 + a1 x + a2 x2 + … + an
xn) =
= am · a0
xm + am · a1 xm + 1 + am
· a2 xm + 2 + … + am · an xm +
n
Ejemplos:
a)3 x2 ·
(- 5 + 2 x + 4 x3) = - 15 x2 + 6 x3 + 12 x5
b)- 4 x3
· (x2 – 2 x3 – 3 x4) = - 4 x5 + 8 x6
+ 12 x7
Multiplicación de dos polinomios.
Para multiplicar dos
polinomios P (x) y Q (x), se utiliza la propiedad distributiva de modo que
multiplicamos cada uno de los monomios que componen P (x) por el polinomio Q
(x). Es decir, que si P (x) = a0 + a1 x + a2 x2
+ … + an xn, se tiene que:
P (x) · Q (x) =
= a0 · Q
(x) + (a1 x)· Q (x) + (a2 x2)· Q (x) + … + (an
xn)· Q (x)
Ejemplos:
a) Multipliquemos P
(x) = 3 + 4 x – 5 x2 y Q (x)
= - 6 x + 4 x2
(3 + 4 x – 5 x2)·(- 6 x + 4 x2)
=
= 3·(- 6 x + 4 x2) + 4 x·(- 6 x +
4 x2) – 5 x2·(- 6 x + 4 x2)=
= - 18 x + 12 x2 – 24 x2
+ 16 x3 + 30 x3 – 20 x4 =
= - 18 x – 12 x2 + 46 x3
– 20 x4
b) Multipliquemos P
(x) = x2 – 6 x3 y
Q (x) = 3 x + x2 – 2 x3
(x2 – 6 x3)·(3 x + x2
– 2 x3) =
= x2·(3 x + x2 – 2 x3)
– 6 x2·(3 x + x2 – 2 x3) =
= 3 x3 + x4 – 2 x5
– 18 x3 – 6 x4 + 12 x5 =
= - 15 x3 – 5 x4 + 10 x5
En ocasiones,
especialmente cuando queremos multiplicar polinomios con muchos términos, es
más práctico colocarlos ordenados respecto de su grado uno encima de otro y
multiplicar todos sus términos entre sí (como en la multiplicación de dos
números de varias cifras), teniendo cuidado de colocar los términos resultantes
del mismo grado por columnas para poderlas sumar.
Ejemplo:
Vamos a multiplicar los
polinomios P (x) = 7 + 2 x + 5 x2 – 2 x3 y Q (x) = 2 + 3
x2 – 2 x3.
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