Reto en la clase

Un profesor propone un reto a sus alumnos: a cada uno de ellos le entrega un alambre de 20 cm de longitud y les dice que construyan con él un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos, de forma que a cada uno le subirá en la nota final de la evaluación tantos puntos como dm² tenga la superficie del polígono que haya  construido.

¿Cómo debe ser dicho polígono para obtener la mayor subida posible de nota? ¿Cuánto supondría dicha subida en la nota?

Solución:

Suponemos que el cuadrilátero tiene como dimensiones x e y cm.

Al medir el alambre 20 cm, se deduce que 2x + 2y = 20; es decir, que x  + y = 10; o también, y = 10 – x.

Queremos que la superficie sea máxima, por lo que la función que debemos maximizar es S = x·y pero para que dependa de una sola variable, sustituimos la expresión de y en función de x:

S(x) = x·(10 – x) = 10x – x²

Derivamos e igualamos a cero, en busca de extremos relativos:

S´(x) = 10 – 2x = 0; 2x = 10; x = 5

Calculamos la segunda derivada de la función para comprobar si en el punto de abscisa x = 5 la función alcanza un máximo:

S´´(x) = -2; S´´(5) = -2 < 0

Así, en x = 5 se alcanza dicho máximo y, en ese caso:

y = 10 – x = 10 – 5 = 5

Por tanto, el cuadrilátero que debe construirse es el de mayor superficie, que es un cuadrado de lado 5 cm.

La superficie de este cuadrado es 5² = 25 cm² = 0,25 dm² 

La subida de la nota sería de 0,25 puntos.

Extremos relativos

Se sabe que la función f(x) = (x + a)(x² – 4), donde a es un número real, tiene un mínimo y un máximo relativo.

Si el máximo relativo se alcanza en x = -1/3, encuentra la abscisa del punto en el que se alcanza el mínimo relativo.

Solución:

La derivada de f(x) es:

f´(x) = (x² – 4)+(x + a)·2x = x² – 4 + 2x² + 2ax = 3x² + 2ax – 4

Como en x = - 1/3 se alcanza un máximo relativo, debe cumplirse la condición de que f´(- 1/3) = 0. Así, se tiene que:

3(-1/3)² + 2a(-1/3)- 4 = 0; 1/3 – 2a/3 – 4 = 0;

(1 – 2a)/3 = 4; 1 – 2a = 12; a = -11/2

Al ser a = -11/2, resulta que f´(x) = 3x² – 11x – 4, y esta función derivada se anula en los puntos que son solución de la siguiente ecuación:

De esta manera, los extremos relativos se alcanzan en los puntos de abscisa x₁ = 4 y x₂ = -1/3, y, como en x₂ hay un máximo, el mínimo relativo se alcanza en x = 4.

A partir de la gráfica

Consideramos la función cuya gráfica es la siguiente:

A partir de la gráfica, determina:

a) Dominio de la función.

b) Imagen de la función.

c) Intervalos de monotonía.

d) Extremos relativos.

Solución:

a)Dom f = R

b) Im f = [0, +∞)

c) Es decreciente en (-∞, -1) y en (1, 3)

     Es creciente en (-1, 1) y en (3, +∞)

  d) El punto (1,4) es un máximo relativo y los puntos (-1, 0) y (3, 0)   son mínimos relativos.

A partir de la gráfica

Consideramos la función cuya gráfica es la siguiente:

A partir de la gráfica, determina:

a) Dominio de la función.

b) Imagen de la función.

c) Intervalos de monotonía.

d) Extremos relativos.

Solución:

a) Dom f = R

b)   Im f = R

c)  Es creciente en (-∞, -1) y en (1, +∞)

     Es decreciente en (-1, 1)

  d)  El punto (-1, 4)es un máximo relativo y el (1, 0) un mínimo relativo.