Logaritmos.

Definición de logaritmos y propiedades.

Ejercicios resueltos de logaritmos.

Ejercicios resueltos de logaritmos.

1.Calcula los logaritmos siguientes:

log₃ 243,   log₈ (1/64),   log_1/3 27,  log_1/2 512

Solución:

log₃ 243 = log₃ 3⁵ = 5·log₃ 3 = 5·1 = 5

log₈ (1/64)= log₈ (1/8²) = log₈ 8^{- 2} = -2·log₈ 8 = -2·1 = - 2  

log_1/3 27 = log_1/3 3³ =  log_1/3 (1/3)^-3 = -3· log_1/3 (1/3)= -3

log_1/2 512 = log_1/2 2⁹ = log_1/2 (1/2)^-9 = -9· log_1/2 (1/2)= - 9

2.Halla la base de los logaritmos en las siguientes igualdades:

a) log_a 125 = 3

b) log_a 256 = 8

c) log_a 0,0001 = - 4

d) log_a 9 = - 2

Solución:

a) log_a 125 = 3, según la definición de logaritmo, equivale a que  a³ = 125 = 5³. Por tanto, a = 5.

b)log_a 256 = 8, según la definición de logaritmo, equivale a que   a⁸ = 256 = 2⁸. Por tanto, a = 2.

c) log_a 0,0001 = - 4, según la definición de logaritmo, equivale a que a^-4 = 0,0001 = 1/10000 = (1/10)⁴ = 10^-4. Por tanto, a = 10.

d) log_a 9 = - 2, según la definición de logaritmo, equivale a que  a^-2 = 9 = 3² = (1/3)^-2. Por tanto, a = 1/3.

3.Sabiendo que log 2 = 0,301030, halla:

a) log 0,25

b) log 512

Solución:

a)log 0,25 = log 25/100 = log 1/4 = log 2^-2 = -2·log 2 =  

        

 = - 2·0,301030 = 0,602060

b) log 512 = log 2⁹ = 9·log 2 = 9·0,301030 = 2,709270

4.Sabiendo que log 2 = 0,301030, halla:

Solución:

a)

b)

5. Calcula el valor de x:

Solución:

Definición de logaritmo y propiedades.

Si a es un número real positivo y distinto de 1, y b es otro número real positivo, se llama logaritmo de b en base a al número x que verifica a^x = b.

Se denota de la forma x = log_a b

Ejemplos:

Es evidente, por la definición, que:

a) log₂ 8 = 3, ya que 2³ = 8.

b) log₃ 81 = 4, ya que 3⁴ = 81

c) Para calcular log_1/2 32, utilizamos la definición anterior:

Por tanto, se deduce que log_1/2 32 = - 5.

Según la definición de logaritmo, queda claro que podemos tomar infinitas bases. Sin embargo, en la práctica se utilizan especialmente dos de ellas: a = 10 y a = e (número e).

Estas bases dan lugar a los logaritmos siguientes:

Se llama logaritmo decimal aquel cuya base es a = 10. El logaritmo decimal de un número b se designa por  log b.

Ejemplo: log 100 = 2, ya que 10² = 100.

Se llama logaritmo neperiano aquel cuya base es a = e(número e). El logaritmo neperiano de un número b se designa ln b o L b.

Ejemplo: ln e² = 2.

Como consecuencia inmediata de la definición de logaritmo, se deducen las siguientes propiedades:

En efecto, se cumple que:

En efecto, se cumple que:

En efecto, se cumple que:

En efecto, se cumple que:

En efecto, se cumple que:

También existen otras propiedades que relacionan los logaritmos con las operaciones aritméticas. Estas propiedades son las siguientes:

a) Logaritmo de un producto:

Si b y c son números reales positivos, se verifica:

log_a (b • c) = log_a b + log_a c

Ejemplo:Sabiendo que log 3 = 0,477121… , calcula log 3000.

log 3000 = log (3 • 1000) = log 3 + log 1000 =

=  log 3 + log 10³ = 0,477121…+ 3 = 3,477121…

b) Logaritmo de un cociente:

Si b y c son números reales positivos, se verifica:

log_a (b/c) = log_a b – log_a c

Ejemplo:

Sabiendo que log 2 = 0,301030…, calcula log 50.

log 50 = log (100/2) = log 100 - log 2 =

= log 10² - log 2  = 2 - 0,301030… = 1,698970…

c) Logaritmo de una potencia:

Si b es un número real positivo y r un número real cualquiera, se verifica:

log_a b^r = r · log_a b

Ejemplo: Sabiendo que log 2 = 0,301030…, calcula log 16.

log 16 = log 2⁴ = 4·log 2 = 4·0,301030… = 1,204120…

d) Logaritmo de una raíz.

Si b es un número real positivo y n un número natural mayor que 1, se verifica:

Ejemplo:

Sabiendo que log 3 = 0,477121…: