Problema 84

Se consideran cinco términos intermedios y consecutivos de una progresión aritmética de números positivos. 

a)Si el quinto de ellos es el doble del primero, y el cuarto es un número primo, calcula los cinco términos.

b)Si, además, se sabe que el término décimoquinto de la progresión es 16, ¿cuál es el primer término de esta?

Solución:

a)Si llamamos d a la diferencia de la progresión, los cinco términos podemos escribirlos de la forma:

a, a + d, a + 2 d, a + 3 d, a + 4 d

Si el quinto es doble del primero, se cumple que a + 4 d = 2 a, de donde se deduce que a = 4 d.

Así, los términos podemos escribirlos como :

4 d, 5 d, 6 d, 7 d, 8 d

Como 7 d es un número primo y es positivo, necesariamente se cumple que d = 1. Por tanto, los cinco términos son:

4, 5, 6, 7 y 8

b) El término décimoquinto es igual al primer término más 14 d, es decir, que 16 - 14 d = 16 - 14 = 2 es el primer término de la progresión.

Términos en una geométrica

La suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica de razón 3 es 7651. Halla el primero y el séptimo término. 

Solución:  

Recordamos que la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

Así, las condiciones del problema indican que se cumple lo siguiente:

Esta ecuación es equivalente a 15302 = 3·a₇ – a₁

Por ser una progresión geométrica, se cumple que a₇ = a₁·3⁶, y sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos:

15302 = 3· a₁·3⁶ – a₁ ⟺ 15302 = a₁(3⁷-1)⟺ 15302 = 2186 a₁ ⟺ a₁= 7

Así, los términos buscados son a₁ = 7 y a₇ = 7·3⁶ = 5103. 

Problema 32

Tenemos una sucesión cuyos tres primeros términos son los siguientes:

¿Cuántos cuadraditos unidad sin colorear serán necesarios para dibujar el octavo término de la sucesión?

Solución:

Para el término 1, se necesitan:

 25 - 4 - 1 (cinco al cuadrado - 4 - 1 al cuadrado)

Para el término 2, se necesitan:

 36 - 4 - 4 (seis al cuadrado - 4 - 2 al cuadrado)

Para el término 3, se necesitan:

 49 - 4 - 9 (siete al cuadrado - 4 - 3 al cuadrado)

Generalizando estos resultados, obtenemos que para el término del lugar n se necesitarán:

(n + 4) al cuadrado - 4 - n al cuadrado

Así, para el octavo término, se necesitan 144 - 4 - 64 = 76 cuadrados unidad sin colorear,

Fracción equivalente

Halla una fracción positiva equivalente a 2/5 y tal que sus términos elevados al cuadrado sumen 464.

Solución:

Sea x/y la fracción buscada.

Como es equivalente a 2/5, multiplicando sus miembros en cruz, se obtiene que 5x = 2y. Así, resulta el sistema siguiente:

Para resolverlo, despejamos x en la primera ecuación:

Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación del sistema y resolvemos:

Luego y = 20 y x = 40/5=8. Es decir que la fracción buscada es 8/20.