Área de un trapecio isósceles mixtilineo

Consideramos una corona circular y en ella un sector circular:

El polígono ABCD es un trapecio isósceles mixtilíneo ya que sus bases son curvas y sus otros lados son segmentos (que miden lo mismo por obtenerse a partir de la corona circular, donde ambas circunferencias son concéntricas).

Si llamamos R y r a los radios de las circunferencias grande y pequeña, respectivamente, el área de la corona es:

Si la amplitud del sector circular es n^o, resulta que el área del trapecio es:

Por otro lado, el arco de circunferencia BC mide:

Y el arco de circunferencia AD mide:

Si hacemos la semisuma (B_T + b_T)/2 obtenemos:

Y, si esta semisuma la multiplicamos por la longitud de AB, que coincide con(R – r), obtenemos:

Por tanto, al igual que en un trapecio rectilíneo, para calcular el área de este trapecio mixtilíneo se multiplica la semisuma de sus bases (arcos de circunferencias concéntricas) por su altura (diferencia de los radios de dichas circunferencias).

Áreas combinadas

Calcula el área de la figura coloreada.

Solución:

El área de la figura está compuesta por la de un cuadrante de un círculo de radio 2 cm, más la de un cuadrado de lado 4 cm, menos la de un triángulo isósceles de 2 cm de base y 2 cm de altura.

Así, el área de la figura coloreada es:

Triángulo isósceles

En un triángulo isósceles, sabemos que cada uno de los lados iguales mide 1 cm menos que el lado desigual.

Sabiendo que su perímetro es 16 cm, calcula la altura y el área del triángulo.

Solución:

Suponemos que cada una de las mitades en las que la altura divide al lado desigual es x. De esta forma, cada uno de los lados iguales es 2x–1.

Sabemos que el perímetro del triángulo es:

P = 2x + 2(2x – 1) = 6x – 2 = 16 cm

De esta expresión podemos despejar x = 3 cm.

Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

x² + h² = (2x – 1)²

3² + h² = 5²

h² = 25 – 9 = 16; h = 4 cm

Ya podemos calcular el área del triángulo:

Por tanto, la altura del triángulo mide 4 cm y su área 12 cm².

Optimización

En un triángulo isósceles de 18 cm de perímetro, ¿cuál debe ser la altura para que su superficie sea máxima?

En ese caso, ¿cuánto medirían los lados del triángulo?

Solución:

Consideramos el triángulo con la notación indicada en la figura.

Como el perímetro es 18 cm, sabemos que 2x + 2y = 18, lo que equivale a que x+y = 9. Luego y = 9 – x.

La función que queremos optimizar es su superficie, es decir, la función S = 2x·h/2 = x·h

Para dejar S en función de una sola variable, intentamos expresar x en función de la altura, para lo que utilizamos el teorema de Pitágoras:

x² + h² = y²; x² + h² = (9-x)²; x² + h² = 81 + x² – 18x;

h² – 81 = -18x; x= (81 – h²)/18

Así, ya podemos escribir la función de la forma siguiente:

Calculamos su derivada e igualamos a cero:

Así, la superficie del triángulo es máxima cuando su altura es:

En este caso, los lados del triángulo miden:

Luego, se observa que se trata de un triángulo equilátero, cuyos lados miden 6 cm.