Problema 141

Las diagonales de un rombo miden 30 cm y 40 cm.

¿Cuál es la distancia entre los lados paralelos del rombo?

Solución:

Consideramos uno de los cuatro triángulos rectángulos en los que sus diagonales dividen al rombo.

Y, utilizando el teorema de Pitágoras, calculamos la longitud del lado del rombo:

Calculamos el área del rombo, utilizando sus diagonales:

Pero, si consideramos el rombo apoyado sobre uno de sus lados, también podemos calcular su área como base por altura, siendo la base el lado del rombo y la altura la distancia entre los lados paralelos, que es lo que queremos calcular.

Despejamos el valor de H:

H = 600/25 = 24 cm

Así, la distancia entre los lados paralelos es de 24 cm.

Diagonales de un rectángulo.

En el siguiente rectángulo conocemos el vértice señalado en la figura y sabemos, además, que mide 10 cm de ancho y 6 cm de alto.

Encuentra las ecuaciones de sus diagonales y el punto en el que se cortan.

Solución:

Utilizando los datos de las medidas de sus lados, podemos ver que los otros vértices son los puntos B(3,15), C(-7,15) y D(-7,9).

-Hallamos la diagonal r que pasa por C y A:

C Є r: y = m x + n ; 15 = -7 m +n

A Є r: y = m x + n ; 9 = 3 m +n

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores, se deduce que la ecuación de r es y = -3x/5 + 54/5.

-Hallamos la diagonal s que pasa por D y B:

D Є s: y = m x + n ; 9 = -7 m +n

B Є s: y = m x + n ; 15 = 3 m +n

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores, se deduce que la ecuación de s es y = 3x/5 + 66/5.

Para hallar el punto de corte de ambas diagonales, resolvemos el sistema formado sus ecuaciones:

Sumando ambas ecuaciones, se obtiene que 2y = 24; así, y = 12.

Sustituyendo este valor de y en cualquiera de las ecuaciones del sistema, calculamos el valor de x, que resulta x = -2.

El punto de corte de las diagonales r y s es R(-2,12).

Problema 44

Si el perímetro del círculo es 50π cm, y el rombo se traza uniendo los puntos medios de los lados del rectángulo inscrito, calcula el perímetro del rombo.

Solución:

Dividiendo la base del rectángulo en cuatro partes iguales, trazamos las verticales que dibujamos en rojo.

Si aplicamos una simetría vertical a los lados del rombo respecto de los ejes señalados en rojo, el dibujo quedaría de la forma siguiente.

En este dibujo se ve claramente que el perímetro del rombo coincide con la suma de las dos diagonales del rectángulo. Y cada una de estas diagonales es un diámetro de la circunferencia.

Como el perímetro del círculo es π· diámetro, deducimos que dicho diámetro es 50π/π = 50 cm.

Así, se obtiene que el perímetro del rombo mide 100 cm.

Problema 37

Tenemos un cuadrado de 16 cm de perímetro rodeado de una cuerda ajustada perfectamente a su contorno. Si aumentamos la longitud de la cuerda 8 cm y tiramos hacia afuera desde los vértices del cuadrado, siguiendo la dirección de sus diagonales, ¿a qué distancia del centro del cuadrado quedará cada vértice del nuevo cuadrado formado por la cuerda?

Solución:

Si llamamos a al lado del cuadrado, al ser 16 cm su perímetro, se cumple que 4a=16 y, por tanto, a = 4 cm.

Al estirar la cuerda se obtiene el cuadrado de color azul (mayor que el inicial pero compartiendo el mismo centro, O).

El perímetro de este cuadrado es:

16+8 = 4(a+2x)= 4(4+2x) = 16+8x

Por tanto, 24 = 16 + 8x, de donde x = 1 cm.

Sabiendo que x = 1, y observando el dibujo, podemos deducir que la distancia entre O y V es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son iguales y miden 3 cm. 

Así, la distancia buscada es: