Problema 74

Calcula el área y el perímetro la región coloreada de rosa, sabiendo que el área da cada cuadradito es 4 cm².

Solución:

Como el área de cada cuadradito es 4cm², su lado mide 2 cm. Descomponemos la figura en las siguientes regiones:

El área de la región a es igual a la suma de las áreas de las regiones d y f. De la misma forma, el área de la región c es igual a la suma de las áreas de las regiones e y g.

Por tanto, el área de la figura coloreada de rosa es la misma que la del rectángulo formado por 8 cuadraditos de 4 cm²; es decir, que el área buscada es 32 cm².

El perímetro de la figura está formado por dos semicircunferencias de radio 2 cm (regiones a y c) y por cuatro cuadrantes de circunferencia de radio 2 cm (regiones d, e, f y g). De esta forma, equivale a la longitud de dos circunferencias de radio 2 cm; es decir, que el perímetro de la figura mide 2·2·π·2 = 8π cm.

Problema 44

Si el perímetro del círculo es 50π cm, y el rombo se traza uniendo los puntos medios de los lados del rectángulo inscrito, calcula el perímetro del rombo.

Solución:

Dividiendo la base del rectángulo en cuatro partes iguales, trazamos las verticales que dibujamos en rojo.

Si aplicamos una simetría vertical a los lados del rombo respecto de los ejes señalados en rojo, el dibujo quedaría de la forma siguiente.

En este dibujo se ve claramente que el perímetro del rombo coincide con la suma de las dos diagonales del rectángulo. Y cada una de estas diagonales es un diámetro de la circunferencia.

Como el perímetro del círculo es π· diámetro, deducimos que dicho diámetro es 50π/π = 50 cm.

Así, se obtiene que el perímetro del rombo mide 100 cm.

Optimización

De entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 10 cm, calcula las dimensiones del que tenga área máxima.

Solución:

Si x e y son los lados del rectángulo, como su diagonal coincide con el diámetro de la circunferencia, se obtiene la relación siguiente, aplicando el teorema de Pitágoras.

El área de un rectángulo es base x altura, por lo que la función a optimizar es:

Derivamos e igualamos a cero la primera derivada de A, y resolvemos la ecuación que se obtiene:

Como x es un lado del rectángulo, no se puede tomar el valor x=0 ni el valor negativo de la raíz. Se comprueba que la segunda derivada de A es negativa en 

  

Así, se obtiene finalmente que el área es máxima cuando se trata de un cuadrado cuyo lado es: