Tamaño de las hojas de papel

Las hojas de papel que se utilizan normalmente son de un tipo estándar ya que existe un sistema de tamaños, aceptado internacionalmente. Estos tipos se denominan A0, A1, A2,..., A7.

La propiedad que verifican estos tamaños es que la hoja A1 es la mitad de la hoja A0; la A2 es la mitad de la A1; y así, sucesivamente.

1.Sabiendo que la hoja A0 tiene una superficie de un metro cuadrado, resulta posible calcular el área de todas las demás hojas.

¿Cuáles serían esas áreas para una hoja A3 y para una A4?

2.Puede demostrarse que, si todas las hojas han de guardar la misma proporción, debe cumplirse para todas ellas lo siguiente:

  Para hacer esta demostración,  utiliza una hoja A3, dóblala por la mitad y córtala por la línea que queda marcada al doblar. Reserva una de las mitades y repite el proceso anterior con la otra mitad. Vuelve a hacer lo mismo con las nuevas mitades tantas veces como precises hasta obtener una hoja de tamaño A7. Las mitades que has ido reservando puedes colocarlas de la forma que se indica a continuación.

¿Cómo se deduce de aquí la expresión que se quería demostrar?

3. A partir de la expresión demostrada y de la superficie de una hoja A4, deduce sus dimensiones.

Solución:

1.La superficie de una hoja A3 es la mitad de una A2 y, por tanto, la cuarta parte de una A1, que es la mitad de una A0; de esta forma, la superficie de una A3 es la octava parte de una A0; es decir, la octava parte de 1 metro cuadrado. Así, la superficie de una A3 es de 1250 cm².

  La superficie de una A4 es la mitad de una A3 y, por tanto, es de 625 cm².

2.Cogiendo dos hojas de tamaños consecutivos cualesquiera, se deduce que sus dimensiones son de la forma que se indica en el dibujo siguiente: 

Y, como se obtienen triángulos semejantes, podemos aplicar la siguiente proporción:

 Queda pues, demostrada la propiedad indicada.

3.Hemos visto en el apartado primero que la superficie de una hoja A4 es de 625 cm². Si a y b son sus dimensiones, debe cumplirse que, aproximadamente:

a· b = 625

b = 1,4142·a

Entonces, a·1,4142·a = 625, es decir que a² = 625/1,4142 = 441,94.

Despejando, se obtiene que a = 21,02 cm y b = 29,72 cm son las dimensiones de la hoja A4.

Problema 87

Se está elaborando un gorro de hada en forma de cono para un disfraz. El gorro que se ha preparado tiene una altura de 90 centímetros y una base de 36 centímetros de diámetro. Sin embargo, al colocarlo sobre la cabeza de la chica que va a llevar el disfraz, resulta que la base es demasiado grande y el gorro se encaja de tal manera que le cubre la cara.

Para aprovechar el cono ya construido se decide cortarlo por un plano paralelo a su base pero, para no volver a cometer un error, se decide medir antes la cabeza de la chica, cuyo contorno resulta ser de 60 centímetros.

¿Qué altura tendrá el cono después de cortarlo, si entonces el gorro encaja de forma justa en la cabeza?

Solución:

La base nueva del cono debe encajar en la cabeza y, para ello, ha de cumplirse: 

Utilizamos el siguiente dibujo que describe la situación:

Por la semejanza de los dos triángulos, se obtiene que:

Se deduce entonces que la altura del sombrero es:

Problema 31

Tenemos 81 bolas semejantes, de forma que una de ellas pesa más que las demás y no sabemos cuál es. ¿Podemos encontrarla mediante cuatro pesadas en una balanza sin utilizar pesas?

Solución:

Las separamos en 3 grupos de 27 bolas y comparamos dos de ellos en la balanza. Si pesan lo mismo, estará en el grupo que no hemos pesado. Si un grupo pesa más, en ese grupo estará la bola buscada. 

Cogemos el grupo en el que está la bola más pesada y lo dividimos en 3 grupos de 9 bolas y repetimos la operación, localizando el grupo de 9 bolas en el que está la bola buscada. 

Cogemos ese grupo de 9 bolas más pesado y lo dividimos en tres grupos de 3 bolas y, de nuevo, repetimos la operación detectando el grupo de tres bolas en el que está la más pesada. 

Cogemos ese grupo de tres bolas más pesado y repetimos la operación, detectando con la cuarta pesada la bola que más pesa.