Actividad con geoplano triangular

Se considera en esta actividad un geoplano triangular, sobre el que se trazan triángulos equiláteros.

Llamamos unidad de longitud a la distancia entre dos puntos consecutivos del geoplano, tal y como se indica en las figuras siguientes:

Y llamamos unidad de superficie al área encerrada por un triángulo equilátero cuyo lado mide la unidad de longitud.

Observa los siguientes triángulos:

Haciendo un recuento de los puntos por los que pasa cada uno de los triángulos y teniendo en cuenta la superficie de cada uno de ellos, podemos empezar a rellenar la tabla que se presenta a continuación. Complétala tú.

Solución:

La tabla, ya completada, queda de la forma siguiente:

Problema 51

Calcula el área del triángulo ABC.

Solución:

Para hacerlo, restaremos al área del cuadrado la superficie exterior al triángulo. Para ello, tendremos en cuenta que, según se observa en el dibujo, el área de cada cuadradito en los que se ha descompuesto el cuadrado grande es u² = 4·4 = 16 cm².

Para verlo de forma clara, nombramos los puntos siguientes en la figura:

Área del triángulo ACH = (2·4)/2 u² = 4 u² = 4·16 cm² = 64 cm²

Área del rectángulo EFGD = 4 u² = 4·16 cm² = 64 cm²

Área del triángulo BGC = (3·1)/2 u² = 1,5 u² =1,5·16 cm² = 24 cm²

Área del triángulo DBA = (3·1)/2 u² = 1,5 u² =1,5·16 cm² = 24 cm²

Así, el área del triángulo ABC es:

A = 16² – 2·64 – 2·24 = 256 -128 – 48 = 80 cm².