Pecera y esfera

En una pecera con forma de ortoedro, llena de agua hasta el borde, se introduce una esfera maciza de 10 cm de radio, por lo que se derrama una cantidad de agua. Después, se saca la esfera otra vez, con lo que el nivel del agua ha bajado. 

¿Qué altura alcanza el nivel del agua en la pecera al sacar la esfera, si las dimensiones del ortoedro son 40 cm de largo, 30 cm de ancho y 20 cm de alto?   

Solución:

El volumen de la esfera es:

El volumen del ortoedro y, por tanto, del agua inicial es:

Al introducir la esfera y volver a sacarla, el agua que queda dentro de la pecera ocupará el siguiente volumen:

Esta cantidad de agua ocupará el volumen de un ortoedro 40 cm de largo, 30 cm de ancho y h cm de alto, siendo h la altura que debemos calcular.

El volumen de dicho ortoedro es V = 40·30·h = 1200 h cm³.

Igualando ambos volúmenes, obtenemos la siguiente ecuación:

Despejamos el valor de h, que es la solución del problema:

Optimización

Calcula el volumen máximo de un paquete enviado por correo, con forma de ortoedro, cuya base es cuadrada y sabiendo que la suma de sus tres dimensiones (anchura + altura + longitud) es 108 cm.

Solución:

Tenemos que optimizar una función de volumen de un paquete de base cuadrada, es decir, con anchura igual a longitud, por tanto:

V(x, y) = x^2·y

Todas las variables deben ser positivas y menores que 108:

0 <x <108       0 <y <108

Y sabemos que la suma de anchura + altura + longitud es 108, luego la relación es: 2x + y = 108 →  y = 108 − 2x

Sustituyendo en la función de volumen, se obtiene:

V(x) = x² (108 − 2x) = 108x²− 2x³

Derivando y buscando máximos y mínimos:

V´ = 216 x – 6x² = 0 ;6x·(36 – x) =0; x = 0 ó x = 36

Descartamos la solución nula por no tener sentido, y utilizando la segunda derivada verificamos si es máximo o mínimo:

V''(x) = 216 −12x → V´´(36) = −216<0 (es máximo)

Por tanto, el máximo volumen de dicho paquete es:

V(36) = 108(36)²−2·(36)³= 139968–93312 = 46656 centímetros cúbicos.