Área de un hexágono

David y Adrián encuentran en un libro de geometría el siguiente hexágono, en el que se indica que cada uno de los cuadraditos de la cuadrícula de fondo tiene una superficie de 1 cm².

Observando el dibujo, David afirma que la superficie del hexágono es  80 cm². Sin embargo, Adrián dice no estar de acuerdo con él y le hace el siguiente razonamiento:

Como puedes observar, el lado AF mide 6 centímetros y, por tanto, el perímetro es 36 centímetros. Además la apotema, OP, mide 5 centímetros. Así pues, utilizando la fórmula para el área, se calcula que la superficie del hexágono es:

David, aunque sigue convencido de que la superficie del hexágono es de 80 centímetros cuadrados, piensa que el razonamiento hecho por su amigo parece lógico. Pero entonces se pregunta el porqué de esa diferencia de superficie.

¿Quién de los dos está en lo cierto?

¿En qué falla el razonamiento del que se ha equivocado al dar la solución?

Solución:

David es el que tiene razón, ya que por simetrías se deduce en el dibujo que la superficie del hexágono es la misma que la de un rectángulo de base 8 centímetros y de  altura 10 centímetros.

En efecto, se ve claro que si se corta el hexágono por la vertical que pasa por F y D, y por la horizontal que pasa por B y E obtenemos, en la parte derecha de la figura, dos triángulos rectángulos cuyas hipotenusas son los segmentos DE y EF. Si nos llevamos estos triángulos a la izquierda de la figura de forma que coincidan DE con BA y EF con CB, tenemos el mencionado rectángulo.

El hecho de que la apotema, OP, y el segmento OB tengan la misma longitud hace que el hexágono no sea regular. Y en este hecho es en el que estriba el fallo del razonamiento de Adrián, pues la expresión que utiliza en el cálculo de la superficie es válida sólo para polígonos regulares.

Problema 107

La siguiente figura está formada por un triángulo equilátero, un rectángulo y un cuadrado, los tres con el mismo perímetro.

Si el área del cuadrado es 144 cm², calcula el área de la figura completa.

Solución:

Como el área del cuadrado es 144 cm², sabemos que su lado mide 12 cm y, por tanto, su perímetro es 48 cm.

Como el triángulo es equilátero y su perímetro es igual al del cuadrado, resulta que cada lado del triángulo mide 16 cm.

La base del rectángulo coincide con el lado del triángulo y, si llamamos x a su altura, como su perímetro también es 48 cm, podemos deducir que 32 + 2x = 48, de donde obtenemos que x = 8 cm.

El área de la figura es la suma de las áreas de los tres polígonos.

Área del cuadrado = 144 cm²

Área del rectángulo = 16 · 8 = 128 cm²

Para calcular el área del triángulo debemos hallar su altura, para lo que utilizamos el teorema de Pitágoras:

Ya podemos calcular el área del triángulo:

Así, el área de la figura completa es:

Problema 105

Si el área de la región coloreada de lila es 408 cm², halla el área de la región coloreada de verde en la siguiente figura.

Solución:

Llamamos x e y a las dimensiones del rectángulo de color amarillo.

La superficie coloreada de lila es el área del rectángulo de lados 24 cm y 18 cm, menos el área del rectángulo amarillo. Es decir, 24·18 – x·y = 408.

De dicha expresión, podemos despejar x·y = 432 – 408 = 24 cm^2.

El área de la región coloreada de verde es la superficie del rectángulo de lados 20 cm y 16 cm, menos el área del rectángulo amarillo. Es decir, 20·16 – 24 = 320 – 24 = 296 cm².

Combinación de superficies

Calcula el área de la figura coloreada de blanco, en función del lado del cuadrado.

Solución:

Si llamamos x al lado del cuadrado, su área es x².

Consideramos la figura con las siguientes divisiones:

En la mitad inferior de la figura, se muestran dos cuadrantes de un círculo de radio x/2, coloreados en rosa. La suma de sus áreas es:

En la mitad superior de la figura, la región coloreada de rosa tiene la misma superficie que la coloreada de blanco. Ambas coinciden con la mitad de la superficie de un rectángulo de base x y altura x/2. Es decir, la superficie en rosa de dicha parte, es:

Concluimos que el área de la figura coloreada en blanco es:

Problema 78

Un granjero dispone de un almacén para guardar la cosecha, situado en el centro de una pradera y rodeado todo él de hierba. La planta de dicho almacén es un rectángulo cuyos lados miden 12 y 8 metros.

El granjero clava tres anillas en las paredes exteriores del almacén en las que poder atar a su caballo y las sitúa en los puntos A, B y C que aparecen en el siguiente dibujo, donde el rectángulo representa la planta del almacén.

a)Si dispone de una cuerda de seis metros de longitud para atar su caballo, ¿en cuál de las tres anillas le interesa sujetarla para que el animal pueda comer la mayor cantidad de la hierba que rodea al almacén?

b)Si encuentra otra cuerda, cuya longitud es de diez metros, y la utiliza para sujetar a su caballo en la anilla situada en B, ¿qué superficie de hierba estará al alcance del animal?

Solución:

a)Los dibujos correspondientes a las superficies que podría comer el caballo, según la anilla utilizada, son los siguientes:

Las superficies son:

-En la anilla A:

 superficie = a = (1/2)·p·6² = 18 p  m²

-En la anilla B:

 superficie = b = p·6²-(1/4·p·6²) = 27 p  m²

-En la anilla C:

 superficie = a + b + c =(1/2)·p·6² +(1/4)·p·2² +(1/4)· p · 2² =    =18 p + p  + p = 20 p  m²

Le interesa atarlo a la anilla B.

b)Si la cuerda es de 10 metros, el dibujo sería el que se muestra a continuación:

Se deduce que la superficie de hierba a la que puede acceder el animal es:

S = b + a = (3/4) · p · 10² + (1/4) · p · 2² = 75 p + p  = 76p m²

Optimización

Se quiere cercar  un terreno rectangular con 60 m de valla de forma que la superficie encerrada sea máxima. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno?

Solución:

Sean x e y el largo y el ancho del terreno, respectivamente. 

Como la valla que se va a utilizar mide 60 m, dicha longitud ha de coincidir con el perímetro del terreno y, de esta forma, sabemos que se debe cumplir 2x + 2y = 60, lo que equivale a que x + y = 30.

Es decir, y = 30 – x.

El área del rectángulo, en este caso el terreno, es S = x·y.

Como esta superficie debe ser máxima, la función que vamos a optimizar es S(x) = x·(30 – x) = 30x – x².

Derivamos la función y la igualamos a cero:

S´(x) = 30 – 2x = 0; 30 = 2x; x = 15

Calculamos la segunda derivada de la función en x = 15:

S´(x) = - 2, para cualquier x

Por tanto, se cumple que S´(15) = 0 y S´´(15) < 0, lo que nos asegura que la función alcanza el máximo en x = 15. Y para este valor de x, se tiene que y = 30-15 = 15.

Luego el terreno de mayor superficie encerrada por la valla es un cuadrado de lado 15 m.

Áreas en un geoplano

Utilizamos un geoplano cuadrado 4 ´ 4, y recordamos que llamamos unidad de superficie al área del cuadrado de lado una unidad, como se indica en la figura. 

Construimos sobre este geoplano los siguientes polígonos:

Como podemos comprobar, el polígono número uno es un trapecio cuyas dimensiones son dos unidades la base mayor, una unidad la base menor y una unidad la altura. Aplicando la expresión de la superficie del trapecio en función de estos datos obtenemos que el área encerrada por el polígono uno es de 1,5 unidades de superficie, lo cual es fácil de obtener analizando los cuadraditos unidad del geoplano que contiene.

Al ser el polígono dos un rectángulo de dos unidades de base y una unidad de altura, el área encerrada por él es de 2 unidades de superficie.

De la misma manera que en el polígono uno, el tres es un trapecio cuya base mayor mide tres unidades, la base menor tiene una unidad de longitud y su altura es de una unidad. Es fácil deducir  que el área que encierra es de 2 unidades de superficie. 

1. Diseña sobre el geoplano distintos polígonos que tengan un área de 3; 3,5; 4; 4,5; 5; etc., unidades de superficie. 
2. ¿Cuál sería el polígono de área máxima que podría construirse en este geoplano? 
3. ¿Cuál es el área de la figura encerrada por el siguiente polígono?
   

Solución:

1. Para los polígonos de diferentes áreas hay varias soluciones.
2. Pero está claro que la figura de mayor superficie posible en un geoplano de orden cuatro es el cuadrado de área 9 unidades de superficie (lado de tres unidades).
3. El área de la figura es 4 unidades de superficie.

Diagonales de un rectángulo.

En el siguiente rectángulo conocemos el vértice señalado en la figura y sabemos, además, que mide 10 cm de ancho y 6 cm de alto.

Encuentra las ecuaciones de sus diagonales y el punto en el que se cortan.

Solución:

Utilizando los datos de las medidas de sus lados, podemos ver que los otros vértices son los puntos B(3,15), C(-7,15) y D(-7,9).

-Hallamos la diagonal r que pasa por C y A:

C Є r: y = m x + n ; 15 = -7 m +n

A Є r: y = m x + n ; 9 = 3 m +n

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores, se deduce que la ecuación de r es y = -3x/5 + 54/5.

-Hallamos la diagonal s que pasa por D y B:

D Є s: y = m x + n ; 9 = -7 m +n

B Є s: y = m x + n ; 15 = 3 m +n

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores, se deduce que la ecuación de s es y = 3x/5 + 66/5.

Para hallar el punto de corte de ambas diagonales, resolvemos el sistema formado sus ecuaciones:

Sumando ambas ecuaciones, se obtiene que 2y = 24; así, y = 12.

Sustituyendo este valor de y en cualquiera de las ecuaciones del sistema, calculamos el valor de x, que resulta x = -2.

El punto de corte de las diagonales r y s es R(-2,12).

Problema 71

En la pizarra del aula hay dibujado un rectángulo. Un alumno observa que la suma de tres de sus lados es 48 cm y otro alumno observa que la suma de tres de sus lados es 54 cm. ¿Cuáles son las dimensiones de dicho rectángulo?

Solución:

Está claro que los alumnos han sumado tres lados diferentes.

Como los lados de cualquier rectángulo son iguales dos a dos, si llamamos a y b a sus dimensiones, uno de los alumnos ha hecho la suma 2a + b y el otro la suma 2b + a. Por tanto, tenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

Así, los lados del rectángulo miden 14 cm y 20 cm. 

Problema 65

Calcula la medida de los lados de cada uno de los cuadrados que se han unido para formar el siguiente rectángulo, sabiendo que este mide 48 cm de alto.

¿Cuál es la otra dimensión del rectángulo?

Solución:

Numeramos los distintos cuadrados de la figura, de la forma siguiente:

Si llamamos “a” al lado del cuadrado 1, observando el dibujo es fácil deducir lo siguiente:

• El lado del cuadrado 2 es 2a
• El lado del cuadrado 3 es 2a+a=3a
• El lado del cuadrado 4 es 2a+3a=5a
• El lado del cuadrado 5 es 3a+5a=8a

Como el lado del cuadrado 5 coincide con la altura del rectángulo, se tiene que 8a=48, es decir, que a=6 cm.

Así, los lados de los cuadrados 1, 2, 3, 4 y 5, miden 6cm, 12 cm, 18 cm, 30 cm y 48 cm, respectivamente.

La otra dimensión del rectángulo es su base, que mide 8a+2a+3a=13a=13·6= 78 cm.

Problema 44

Si el perímetro del círculo es 50π cm, y el rombo se traza uniendo los puntos medios de los lados del rectángulo inscrito, calcula el perímetro del rombo.

Solución:

Dividiendo la base del rectángulo en cuatro partes iguales, trazamos las verticales que dibujamos en rojo.

Si aplicamos una simetría vertical a los lados del rombo respecto de los ejes señalados en rojo, el dibujo quedaría de la forma siguiente.

En este dibujo se ve claramente que el perímetro del rombo coincide con la suma de las dos diagonales del rectángulo. Y cada una de estas diagonales es un diámetro de la circunferencia.

Como el perímetro del círculo es π· diámetro, deducimos que dicho diámetro es 50π/π = 50 cm.

Así, se obtiene que el perímetro del rombo mide 100 cm.

Problema 41

Calcula el área y el perímetro de la superficie B (de color lila).

Solución:

El triángulo compuesto por las superficies A y B tiene 6 unidades de base y 7 de altura, por lo que se deduce que su área es (6·7)/2= 21 unidades de superficie.

La superficie A puede descomponerse en dos rectángulos, uno de 2 por 4 unidades y otro de 3 por 1. Así, el área de A es 2·4 + 3·1 = 11 unidades de superficie.

Por tanto, el área de B es 21 – 11 = 10 unidades de superficie.

Para hallar su perímetro, la suma de las verticales y horizontales que la delimitan es 3+2+3+3+1+1 = 13 unidades de longitud. Y el segmento inclinado que completa su perímetro es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 6 y 7, por lo que su longitud es:

Así, el perímetro de B es:

Optimización

De entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 10 cm, calcula las dimensiones del que tenga área máxima.

Solución:

Si x e y son los lados del rectángulo, como su diagonal coincide con el diámetro de la circunferencia, se obtiene la relación siguiente, aplicando el teorema de Pitágoras.

El área de un rectángulo es base x altura, por lo que la función a optimizar es:

Derivamos e igualamos a cero la primera derivada de A, y resolvemos la ecuación que se obtiene:

Como x es un lado del rectángulo, no se puede tomar el valor x=0 ni el valor negativo de la raíz. Se comprueba que la segunda derivada de A es negativa en 

  

Así, se obtiene finalmente que el área es máxima cuando se trata de un cuadrado cuyo lado es:

Rectángulo inconcluso

Se sabe que la altura de un rectángulo es dos quintas partes de su base. Si su perímetro mide 56 cm, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?

Solución:

Si llamamos x a su base, la altura es 2/5 de x. La ecuación que se plantea es:

Resolvemos la ecuación:

La base mide 20 cm y la altura 2/5 de 20, es decir, 8 cm.