Problema 147

Si multiplicas los treinta primeros números naturales, ¿cuántos ceros tiene al final el resultado de dicho producto?

 

Solución:

En el resultado del producto, cada cero al final corresponderá a un factor 10. 

Pero 10 = 2·5 y, por ello, tendrá al final tantos ceros como factores iguales a 5 aparezcan en el producto (pues el número de factores iguales a 2 es superior).

Entre los 30 primeros números naturales, los múltiplos de 5 son {5, 10, 15, 20, 25 y 30}. El número de factores iguales a 5 en cada uno de ellos, aparece en la tabla siguiente:

Múltiplos de 5	5	10	15	20	25	30
Factores iguales a 5 en cada uno de ellos	1	1	1	1	2	1

Así, tenemos 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 7.

Por tanto, el producto indicado acabará en siete ceros.

Problema 23

Si descomponemos el número 100 como producto de cuatro números enteros positivos y distintos, ¿cuánto valdrá la suma de esos cuatro números?

Solución:

Si descomponemos el 100 como producto de números primos, se tiene que 100 = 2·2·5·5.

Los números positivos que podemos obtener agrupando dichos factores en todas las formas posibles son 2, 5, 4, 25 y 10 (podemos contar con el 1 pues 100 = 1·2·2·5·5).

La única forma posible de obtener 100 multiplicando cuatro de dichos números es 100 = 1·2·5·10.

Así, dichos números suman 1 + 2 + 5 + 10 = 18.

Problema 15

Piensa un número de tres cifras y escríbelo de nuevo a continuación, formando un número de seis dígitos. Dicho número será divisible por 13, por 11 y por 7. Demuestra porqué es así.

Solución:

Si abc es el número inicial, el de seis dígitos será abcabc. Hacemos la descomposición polinómica de este número:

abcabc = a·10⁵ + b·10⁴ + c·10³ + a·10² + b·10 + c =

= a·(10⁵ + 10²) + b·(10⁴ + 10) + c·(10³ + 1) =

= a·10²·(10³ + 1) + b·10·(10³ + 1) + c·(10³ + 1) =

= (a·10² + b·10 + c) · (10³ + 1) =

= abc ·(10³ + 1) = abc · 1001

Pero el número 1001 se descompone en factores como 1001 = 7·11·13, de donde se deduce que abcabc = 7·11·13·abc

Así, abcabc es divisible por 7, por 11 y por 13.