Problema 157

Si un automovilista viaja con una velocidad de 115 kilómetros por hora, llega a Murcia una hora después del mediodía.

Si lo hace con una velocidad de 135 kilómetros por hora, llega a Murcia una hora antes del mediodía.

¿A qué velocidad debería viajar para llegar a dicha ciudad exactamente al mediodía?

Solución:

Llamamos t al tiempo que invertiría para llegar a Murcia exactamente al mediodía.

Utilizando que espacio = velocidad x tiempo, deducimos que el espacio recorrido a 115 km/h es:

e = 115·(t + 1)

De la misma forma, si la velocidad es de 135 km/h, dicho espacio es:

e = 135·(t – 1)

Por tanto:

115·(t + 1) = 135·(t – 1)

115 t + 115 = 135 t – 135

-   20 t = - 250

t = 250/20 = 12,5 horas

De esta forma, el espacio que ha recorrido es:

e = 115·(12,5 + 1) = 115·13,5 = 1552,5 km

Para recorrer esta longitud en 12,5 horas, su velocidad ha de ser:

velocidad = espacio/tiempo = 1552,5/12,5 = 124,2 km/h

Problema 113

En el último día de una vuelta ciclista, la etapa es decisiva. El último tramo de la etapa, que es una subida de 12 kilómetros, favorece al segundo clasificado. Sin embargo, el tramo anterior a esa subida es un trayecto llano que favorece al líder de la clasificación general.

En el transcurso de la etapa, y cuando sólo quedan 72 kilómetros para su finalización, un pinchazo que sufre el líder le hace perder 10 minutos y provoca la situación en carrera que se muestra en el gráfico.

El segundo clasificado se encuentra en el punto B, mientras que el líder está en el punto A, pero al ser este último mejor rodador en llano, cada cinco minutos recorre 5 km por cada 4 km que recorre el segundo clasificado.

Sin embargo, en la subida, el segundo clasificado es mejor que el líder de forma que mientras que el líder sube 2 kilómetros en cinco minutos, él sube tres.

1)Con estos datos, ¿qué corredor llega primero al punto C y que distancia tiene de ventaja al llegar a dicho punto?

2)Cuando el corredor que llega en segundo lugar al punto C está en dicho punto, ¿qué ventaja en kilómetros ha conseguido el otro corredor?

3)¿Cuánto tiempo tardan ambos corredores en realizar el recorrido del punto C a la meta?

4)Si el tiempo en que el líder aventajaba al segundo clasificado era de 1 minuto y 30 segundos, ¿seguirá el mismo líder tras la celebración de esta etapa, o habrá cambio en la clasificación general?

Solución:

1)Al estar en llano, en los diez minutos de retraso provocados por el pinchazo el segundo clasificado saca 8 km de ventaja al líder, ya que cada 5 minutos recorre 4 km.

Ya que líder va más rápido en llano, suponemos que alcanza al segundo en el punto P y  llamamos x a la distancia entre los puntos B y P.

El tiempo t en que el líder recorre 8 + x km es el mismo en el que el segundo clasificado recorre x km.

La velocidad del líder es 5/5 = 1 km/h, mientras que la del segundo clasificado es 4/5 = 0,8 km/h.

Por tanto, utilizando los espacios recorridos por ambos, obtenemos el siguiente sistema:

8 + x = 1·t

x = 0,8·t

Al resolverlo, deducimos que t = 40 minutos, lo que indica que el líder alcanza al segundo clasificado a 40 km del punto A.

Faltarían así 20 km hasta el punto C, que el líder recorre en 20 minutos mientras que el segundo necesita 20:0,8 = 25 minutos.

Como cada cinco minutos el líder saca en llano una ventaja de un kilómetro al segundo clasificado, el líder es el primero en llegar al punto C con una ventaja de 4 kilómetros sobre el segundo.

2)Como cuando el segundo llega al punto C han transcurrido cinco minutos, el líder le lleva una ventaja de 2 kilómetros por tratarse de una subida.

3)El líder tarda 30 minutos del punto C a la meta (pues sube 2 km cada 5 minutos), mientras que su perseguidor tarda 20 minutos (al subir 3 km cada 5 minutos).

4)Como en el punto C el líder le sacaba una ventaja de cinco minutos, pero en la subida el segundo tarda 10 minutos menos en subir, se tiene que el segundo clasificado llega cinco minutos antes a la meta. Como la ventaja de 1 minuto y 30 segundos es inferior, se produce el cambio en la clasificación general.

Problema 99

Dos hermanas se llaman por teléfono y mantienen la siguiente conversación:

-“Salgo ahora mismo y si voy a 60 km/h, llegaré a las 11 horas”.

-“Pero si hay mucho tráfico y solo puedes ir a 40 km/h, ¿a qué hora llegarás?”.

-“En ese caso, llegaré a las 11 horas 30 minutos”.

¿Podrías decir tú a qué hora se produce la llamada telefónica?

Solución:

Como la distancia que recorre es la misma, con el siguiente esquema visualizamos los datos.

A partir del esquema tenemos la siguiente relación algebraica:

60 t = 40 (t + 1/2) ; 60 t = 40 t + 20 ; 20 t = 20  ;  t = 1 hora

Luego la llamada la realizó a las 10 h.  

Distancia de seguridad

Actualmente, el uso de un automóvil o una motocicleta para desplazarse es algo corriente y habitual para todos nosotros. Todos los conductores, y también los ocupantes del vehículo han sufrido los efectos de un frenazo brusco por un imprevisto en la conducción.

Un grupo de jóvenes desean obtener el permiso de conducir, lo que les lleva a tener que estudiarse el Código de circulación, en el que deben trabajar las distancias de frenado de un coche.

La siguiente tabla les informa acerca de las distancias de apercibimiento (de cualquier contratiempo), distancia de frenado, y distancia total recorrida según la velocidad de un automóvil en ese momento.

De acuerdo con los datos expresados en la tabla, resuelve las siguientes cuestiones.

1. La distancia total la podemos expresar con la fórmula:

  En la fórmula, v es la velocidad en kilómetros por hora y D es la   distancia total en metros.

 ¿Podrías hallar alguna relación entre las partes de la fórmula y    las filas de la tabla?

  

2. A una velocidad de 100 km/h, puedes comprobar que un automóvil recorre 27,77 metros por segundo. En la fila de la distancia de apercibimiento para dicha velocidad vemos que el automóvil ha recorrido 20 metros antes de que el conductor reaccione ante el imprevisto y frene, ¿qué tiempo es el que tarda en reaccionar el conductor a esa velocidad?

3. Averigua si los tiempos de reacción dados en la tabla son todos iguales.

Solución:

1. La distancia de apercibimiento viene dada por la expresión v/5 y la distancia de frenado por v²/170.

2. Tarda 0, 72 segundos.

3. Si, aproximadamente 0,72 segundos en todos los casos.

Problema 49

Una moto viaja a 60 km/h si va cuesta arriba, a 90 km/h si va cuesta abajo y a  72 km/h en los demás casos. Tarda 5 horas para ir de A hasta B y 4 horas para volver de B a A. ¿Qué longitud tiene el camino entre A y B?

Solución:

Sean x, y, z, los trayectos cuesta arriba, cuesta abajo y llano de A hasta B, respectivamente.
Teniendo en cuenta que tiempo = espacio/velocidad, deducimos que:

Quitando denomindores, obtenemos que:

Sumando miembro a miembro las dos igualdades, se tiene que:

Así, la distancia de A hasta B son 324 kilómetros.

Matemáticas y tráfico

La distancia de seguridad es la que debe existir entre dos vehículos para que, en caso de frenado brusco, sea posible detenerse sin colisionar con el vehículo delantero.

Está claro que esta distancia dependerá de factores como las condiciones meteorológicas, el estado de la calzada, el del vehículo y el del conductor.

Para un cálculo rápido de esta distancia de seguridad existen propuestas diferentes. Tal vez las dos más conocidas sean las siguientes:

-Aplicar la “regla del cuadrado”:

Velocidad = 50km/h → Distancia de seguridad = 5² = 25 metros

Velocidad = 80km/h → Distancia de seguridad = 8² = 64 metros

Velocidad = 100km/h → Distancia de seguridad = 10² = 100 metros

Velocidad = 120km/h → Distancia de seguridad = 12² = 144 metros

Velocidad = 130km/h → Distancia de seguridad = 13² = 169 metros

-Dejar, en metros, la mitad de la velocidad:

Velocidad = 50km/h → Distancia de seguridad = 25 metros

Velocidad = 80km/h → Distancia de seguridad = 40 metros

Velocidad = 100km/h → Distancia de seguridad = 50 metros

Velocidad = 120km/h → Distancia de seguridad = 60 metros

Velocidad = 130km/h → Distancia de seguridad = 65 metros

Se observa que las diferencias entre estas propuestas son considerables, sobre todo en velocidades altas.

Podemos hacer un cálculo matemático para obtener nuestras propias distancias de seguridad.

Si consideramos la distancia de frenado como la que corresponde al tiempo que se necesita para realizar una frenada de emergencia (tiempo de frenado) y la distancia de reacción como la correspondiente al tiempo que transcurre desde que el conductor percibe la necesidad de frenar hasta que pisa el pedal del freno (tiempo de reacción), la distancia de seguridad será la suma de las dos anteriores.

Se recomienda una distancia de frenado correspondiente a 3 segundos (en condiciones normales de la calzada, del conductor y de climatología) y se calcula que el tiempo de reacción ronda los 0,75 segundos en un estado normal del conductor.

Teniendo en cuenta que espacio = velocidad x tiempo, si la velocidad que lleva el vehículo es de x km/h, nuestra distancia de seguridad (correspondiente a 3,75 segundos) será:

Así, nuestras distancias de seguridad quedarían de la forma siguiente:

Velocidad = 30 km/h → Distancia de seguridad = 31,25 metros

Velocidad = 50 km/h → Distancia de seguridad = 50,08 metros

Velocidad = 80 km/h → Distancia de seguridad = 83,33 metros

Velocidad = 100 km/h → Distancia de seguridad = 104,16 metros

Velocidad = 120 km/h → Distancia de seguridad = 125 metros

Velocidad = 130 km/h → Distancia de seguridad = 135,41 metros

Este desarrollo no es más que otro ejemplo en el que se puede  ver que las matemáticas se aplican continuamente en nuestra vida diaria.

Problema 27

En las aceras de una calle cuya anchura es de 20 m, hay dos árboles situados uno frente a otro (uno en cada acera)y en la copa de cada uno de ellos hay una paloma. Ambos animales observan a la vez una miga de pan situada en el suelo, entre los dos árboles, y se lanzan a cogerla, con la misma velocidad de vuelo, llegando al mismo tiempo. Si un árbol mide 8m de altura y el otro 12m, ¿a qué distancia del tronco del árbol más bajo se encontraba la miga de pan?

Solución:

Si x es la distancia que queremos calcular, la figura que se obtiene con los datos del problema es la siguiente:

Como ambas palomas tardan el mismo tiempo en llegar al pan y vuelan a la misma velocidad, ambas recorren el mismo espacio. De ello deducimos que las hipotenusas de los dos triángulos rectángulos de la figura miden lo mismo. Es decir:

Simplificamos: 40x = 400 + 144 – 64 = 480

Así, despejamos x = 12 m, que es la solución del problema.