Paralela por un punto

Halla la ecuación de la recta r que pasa por el punto P (5, – 6) y es paralela a la recta s de ecuación y = - 2 x + 7.

Solución:

Por ser paralelas, ambas rectas han de tener la misma pendiente.

Por tanto, sabemos que la ecuación de r puede escribirse de la forma y = - 2 x + b para algún valor real de b.

Como r pasa por el punto P, dicho punto debe verificar su ecuación.

Sustituyendo las coordenadas de P en dicha ecuación, obtenemos que  – 6 = - 2·5 + b, lo que es equivalente a decir que – 6 = - 10 + b, de donde despejamos b = 4.

Así, la ecuación de la recta r es y = - 2 x + 4.

Otra forma de resolver el problema es con la utilización de la ecuación punto-pendiente.

Como la pendiente ha de ser m = - 2, y la recta r debe pasar por el punto P (5, - 6), aplicando dicha ecuación, obtenemos que r se puede expresar de la forma siguiente:

y – (- 6) = -2·(x -5)

y + 6 = - 2 x + 10

y = - 2 x + 4     o     y + 2x = 4

¿Se cortan o no?

La ecuación de una recta r es y = m x + n, siendo m y n números distintos. Consideramos la recta s de ecuación y = n x + m.

a)¿Puedes asegurar que r y s son secantes?

b) En caso de haber respondido afirmativamente a la pregunta anterior, ¿puedes calcular el punto de corte de ambas rectas?

c)Si r pasa por el punto P (2, 12) y ambas rectas se cortan en el punto Q (1, 7), ¿cuáles son las ecuaciones de r y s?

Solución:

a)r y s son secantes pues sus pendientes son distintas.

b)Si (x₀, y₀) es el punto de corte de ambas rectas, se cumple que:

Por tanto, el punto de corte de r y s es (1, m + n).

c)Si r pasa por P (2, 12) se cumple que 12 = 2 m + n.

Si Q (1, 7) es el punto de corte de r y s, este punto también satisface la ecuación de la recta r y, por ello, 7 = m + n.

Si restamos miembro a miembro las dos ecuaciones anteriores, obtenemos que m = 5 y, sustituyendo este valor de m en cualquiera de las ecuaciones, deducimos que n = 2.

Así, la ecuación de r es y = 5 x + 2 y la de s es y = 2 x + 5.

Pendiente perdida

Sabemos que las rectas r, de ecuación y = m x + 2, y s, de ecuación y = 5 x + 7, se cortan en un punto cuya primera coordenada es x = 2.

Encuentra el valor de m.

Solución:

Si se cortan en el punto de abscisa x = 2, significa que existe un valor de y tal que el punto (2, y) pertenece a las dos rectas.

Por pertenecer a la recta s, ha de cumplir su ecuación y, por tanto, y = 5·2 + 7 = 17.

Así, el punto en el que se cortan es el (2, 17), que también debe satisfacer la ecuación de la recta r. Por tanto:

17 = m·2 + 2; 17 – 2 = 2m; m = 15/2

Rectas perpendiculares

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto P (2, 5) y que es perpendicular a y = 3 x – 7.

Solución:

Por ser perpendicular a la recta dada, su pendiente ha de ser:

Al pasar por el punto P, deducimos que su ecuación punto-pendiente es:

Operando y simplificando en la ecuación anterior, vemos que su ecuación explícita es:

Rectas paralelas

Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P (- 1, 4) y es paralela a la recta de ecuación y = 5x – 8.

Solución:

Como es paralela a la recta dada, su pendiente debe ser la misma que la de dicha recta. Por tanto, su pendiente es m = 5.

También conocemos un punto de la recta y, por ello, tenemos que su ecuación punto-pendiente es:

Es fácil ver que su ecuación explícita es y = 5 x + 9  y  la general es 5x – y = - 9.