Problema 146

Encuentra el valor de la suma de los coeficientes del polinomio que resulta al operar y simplificar en la expresión siguiente:

(2 – 4x + 4x⁶)⁸ · (1 + 5x² – 5x⁸)²⁸

Solución:

La resolución del problema estriba en darse cuenta de que la suma de los coeficientes de un polinomio coincide con el valor numérico del polinomio en x = 1.

Así, en este caso, la suma de coeficientes buscada es:

(2 – 4·1 + 4·1⁶)⁸ · (1 + 5·1² – 5·1⁸)²⁸ =

= (2 – 4 + 4)⁸ · (1 + 5 – 5)²⁸ =

= 2⁸ · 1²⁸ = 2⁸ = 256

Integral definida

El polinomio P(x) = x² + A x + B verifica que se anula para x = 2. Halla A y B, sabiendo que se cumple

Solución:

Como P(x) se anula para x = 2, cumple que P (2) = 0, luego:

P (2) = 4 + 2 A + B = 0

Además, tenemos lo siguiente:

Con las dos ecuaciones obtenidas formamos el siguiente sistema:

Resolviendo el sistema, obtenemos que los valores de A y B son:

A = - 46/9  y B = 56/9

Determinantes