Poliedros regulares.

Los cinco poliedros regulares son los que tienes en la siguiente tabla. Sabiendo su composición, completa la tabla:

a)Con los datos obtenidos al completar la tabla, ¿podrías encontrar alguna relación entre el número de caras, el número de vértices y el número de aristas?

b)Comprueba si se cumple o no la relación anterior para un prisma hexagonal, un prisma triangular, una pirámide cuadrangular y un ortoedro o paralelepípedo rectangular.

c)Si hacemos un desarrollo de los poliedros obtenemos la representación de todas sus caras en el plano. ¿Podrías decir a qué poliedro regular corresponden los desarrollos que tienes a continuación? 

Solución:

La tabla queda completa de la forma siguiente:

a)Se observa que la relación que existe es:

nº de caras + nº de vértices = nº de aristas + 2

Esta relación se conoce como fórmula de Euler para poliedros.

b)Formando una tabla como la anterior pero con prisma hexagonal, prisma triangular, pirámide cuadrangular y ortoedro o paralelepípedo rectangular, se puede comprobar que se cumple la relación en dichos poliedros.

c)Los desarrollos corresponden a:

1) Tetraedro   

2) Cubo  

3) Octaedro    

4) No corresponde a ninguno, ya que cuatro cuadrados no forman nunca el vértice de un poliedro.

Actividad con mosaicos.

Para construir un mosaico, hemos diseñado la loseta siguiente:

Y aplicando una serie de movimientos a la loseta antes de unirla a otra, obtenemos el siguiente mosaico.

Encuentra los movimientos que se han aplicado a la loseta originaria del mosaico.

Solución:

A la loseta que origina el mosaico se le aplica una simetría, siendo su eje el lado izquierdo de la loseta, con lo que conseguimos la figura siguiente:

Una vez que hemos construido la primera fila con varias losetas, la segunda fila la obtenemos repitiendo la primera fila y aplicándole una simetría de eje el lado inferior como se ve en la siguiente figura:

Si quieres leer más sobre la formación de mosaicos, pincha en los siguientes enlaces:

http://miblogssiempremaths.blogspot.com.es/2015/04/aplicacion-de-geometria-mosaicos.html

http://miblogssiempremaths.blogspot.com.es/2015/04/mosaicos-con-losetas-cuadradas.html

Estrategia 4 para resolver problemas.

Lo fundamental de esta estrategia, llamada de ensayo y error, es experimentar. Sometiendo los datos del problema a diversos ensayos encontraremos diferencias y propiedades que se repiten, regularidades a partir de las cuales seremos capaces de obtener conclusiones que nos llevarán a la solución del problema.

Un ejemplo de aplicación es el que se muestra en el siguiente problema:

Escribe el número 12345679, formado por todos los dígitos del 1 al 9, a excepción del 8. Multiplica este número por un solo dígito cualquiera. El resultado obtenido en el producto, multiplícalo ahora por 9. ¿Qué ocurre? Comprueba que ocurre lo mismo con otros dígitos. ¿Por qué sucede esto?

Nos disponemos a efectuar el primer experimento, y para ello elegimos un dígito, por ejemplo, el 4.

Lo que ocurre es que el resultado está formado por nueve dígitos iguales a 4.

Experimentemos con otro número, por ejemplo el 6.

De nuevo, el resultado está formado por nueve dígitos iguales (a 6 en este caso).

Si seguimos experimentando con otros números vemos que ocurre lo mismo.

-¿Qué diferencias hay en cada caso?

El resultado, que está formado cada vez por el dígito por el que se multiplica el primer número.

-¿Qué hay en común?

El número formado por los dígitos del 1 al 9 (a excepción del 8) y por el hecho de que en segundo lugar se multiplica siempre por 9.

Estudiemos pues estos factores comunes.

Como la multiplicación de los números naturales cumple la propiedad conmutativa, será igual multiplicar primero por 4 y después por 9, que hacerlo en orden inverso (primero por 9 y luego por 4). También con el resto de los números.

Veamos pues que ocurrirá si multiplicásemos en primer lugar por 9.

¡Qué curioso!. No es necesario seguir, pues aquí tenemos ya la solución al problema.

Otro ejemplo de aplicación de esta estrategia lo encontraremos en el siguiente problema:

Dibuja un cuadrado formado por nueve casillas iguales y coloca en ellas los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, de forma que la suma de los situados en sentido horizontal, la de los situados verticalmente y las de los situados diagonalmente sean iguales.

Resulta un juego complicado cuya solución se obtiene después de efectuar una serie de intentos, con pruebas y errores.

En la siguiente figura se observa una de las posibles soluciones:

Sin embargo, se observa que, aunque las filas verticales suman todas lo mismo, las diagonales y las dos primeras filas horizontales dan unos resultados diferentes.

Esto indica que es necesario hacer algunos cambios. Con otra serie de intentos y pruebas llegaremos a obtener la solución: 

                                                                        A los cuadrados como este, en los que las sumas de las filas, columnas y diagonales son iguales, se les conoce como cuadrados mágicos.

                       

Estrategia 3 para resolver problemas

Esta estrategia, llamada de generalización, consiste en tratar de resolver un problema estudiando qué ocurre, primero para casos particulares y, posteriormente, generalizando las regularidades observadas en esos casos particulares.

Así ocurre en el siguiente problema.

Suponiendo que  a, b y c son tres números positivos, ¿podemos afirmar que la expresión  (1 + a²) · (1 + b²) · (1 + c²) es mayor o igual que la expresión 8 · a · b · c?

En primer lugar particularizamos para algunos valores de los números a, b y c.

Si suponemos que a =1, b =1, c =1:

-      (1 + a²⁾ · (1 + b²) · (1 + c²) =  2 · 2 · 2 = 8

-      8 · a · b · c = 8 · 1 · 1 · 1 = 8

En este caso ambas expresiones son iguales.

Suponemos ahora que a =1, b =2, c =3:

-      (1 + a²⁾ · (1 + b²) · (1 + c²) =  2 · 5 · 10 = 100

-      8· a · b · c = 8 · 1 · 2 · 3 =  48

Aquí es mayor la primera expresión.

Si ahora a =2, b =4, c =1:

-      (1 + a²⁾ · (1 + b²) · (1 + c²) =  5 · 17 · 2 = 170

-      8· a · b · c = 8 · 2 · 4 · 1 =  64

También en este caso la primera es mayor.

Vamos pues a intentar la generalización.

Sabemos que para cualquier número a se cumple que (a - 1)² es mayor o igual que 0, de donde se puede deducir que  a² + 1 es mayor o igual que 2 a.

Haciendo el mismo razonamiento para los números b y c, obtenemos también que  b² + 1 es mayor o igual que 2 b  y  que c² + 1 es mayor o igual que 2 c.

Como los números a, b y c son positivos, multiplicando las tres desigualdades obtenidas, miembro a miembro, se deduce que:

(1 + a²⁾ · (1 + b²) · (1 + c²) es mayor o igual que (2 a · 2 b · 2 c)

Pero, 2 a · 2 b · 2 c = 8 · a · b · c

Así, se ha demostrado que la primera de las dos expresiones es mayor o igual que la segunda, tal y como se decía en el enunciado del problema.

Estrategia 2 para resolver problemas.

Esta estrategia, conocida como empezar desde atrás, consiste en dar el problema por resuelto e ir avanzando desde el final hasta el principio.

Veamos un ejemplo de esta estrategia con el siguiente problema.

Dos amigos, Luis y Roberto, se reúnen en casa de Luis. Éste le enseña a Roberto una caja de madera que contiene 23 varillas de madera, le dice que es un juego y le explica que se ponen las 23 varillas en fila y cada jugador debe coger, por turnos, entre 1 y 4 varillas, ganando el juego aquel que coja la última varilla.

¿Existe alguna estrategia ganadora?

Para resolverlo, después de jugar varias veces, podemos darnos cuenta de que aquel que deja 5 varillas cuando él coge las suyas gana de forma segura. Pero advertimos que no tenemos garantizado el dejar 5 varillas.

Siguiendo el mismo razonamiento, vemos que si nos aseguramos el dejar 10 varillas, ya podemos controlar que en la siguiente jugada, coja las que coja nuestro oponente, podremos coger las que falten para dejar 5 varillas. De esta forma, dando el problema por resuelto y caminando hacia atrás vamos descubriendo posiciones ganadoras.

La diferencia entre cada dos posiciones ganadoras es 5. Pero un concepto de división es el de restas sucesivas. Así, 23: 5 da 4 de cociente y el resto es 3, que es el número por el que hay que empezar para ganar seguro.

Es decir, el jugador que empieza ganará si coge 3 varillas al comenzar y se asegura de que, cada vez que el oponente coge un número de varillas, él coge las varillas necesarias para completar cinco junto con las que ha cogido en la jugada anterior el otro jugador.

Estrategia 1 para resolver problemas.

A veces resulta complicado abordar un problema en primera instancia. Sin embargo, se facilita su resolución si antes se afronta y soluciona un problema parecido pero más sencillo.

Es lo que ocurre en el siguiente problema:

“Unos granjeros almacenaron heno para 57 días. Sin embargo, el heno almacenado era de mejor calidad de lo que pensaban, por lo que ahorraron 113 Kg. por día y tuvieron para 73 días. ¿Cuantos Kg. de heno almacenaron?”.

A continuación, un problema parecido pero más sencillo:

“En una casa compran pan para seis días. Sin embargo, esa semana tuvieron menos apetito de lo normal y ahorraron una barra de pan diaria, por lo que tuvieron pan para 9 días. ¿Cuántas barras de pan compraron?”.

La dificultad del problema del heno reside tanto en los números como en el contexto. El del pan tiene números más asequibles y un contexto que resulta más cercano.

Hacemos un plan para la resolución:

- Saber las barras de pan que ahorran.

- Como la diferencia a causa del ahorro es de 3 días, el pan ahorrado se repartirá entre 3; así descubriremos el consumo diario de pan.

- Después, tendremos que multiplicar por 9 ya que este es el número de días que estuvieron consumiendo pan.

Ejecutamos el plan:

- Ahorran una barra diaria durante 6 días, con lo que podemos afirmar que el ahorro ha sido de 6 barras.

- Por ahorrar 6 barras han tenido pan para 3 días más. Hacemos la división 6:3 =2, y estas 2 barras constituyen el consumo diario.

- Consumiendo 2 barras al día han tenido pan para 9 días.

  

  Así: 9·2 =18 barras, son las que compraron.

Podemos comprobar esta solución haciendo un estudio. Hemos llegado a la conclusión de que por el ahorro de una barra al día, el consumo diario ha sido de 2 barras. Si no hubiesen ahorrado ninguna, el consumo diario habría sido de 3 barras, y así hubiesen tenido pan para 6 días. En ese caso habrían comprado 3·6 = 18 barras, que coincide con la solución obtenida.

Ya que se ha resuelto con éxito este problema, abordaremos ahora el problema del heno.

Hacemos un plan para la resolución:

- Hallar los kilogramos de heno ahorrado.

- Averiguar la diferencia entre el número de días para los que hay heno, si se ahorra, y el número de días para los que se había previsto que hubiese, sin ahorrar.

- Descubrir el consumo diario de heno, repartiendo los kg. de heno ahorrados entre los días que hay.

- Multiplicar el consumo de heno diario por 73 días.

Ejecutamos el plan:

- Multiplicamos 113·57 = 6.441. Así, tenemos que se ahorrado 6.441 kg. de heno.

- El heno ahorrado sería suficiente para 73-57 = 16 días.

- Dividimos lo ahorrado entre estos 16 días, 6.441:16 = 402’56.

- El consumo diario es pues 402’56 kg.

- Multiplicamos este consumo por los 73 días que ha durado el heno y obtendremos el heno almacenado.

         

402’56·73 = 29.386’88 kg

    

Se puede comprobar la solución del mismo modo que en el problema del pan.

Producto por 2 en el ábaco.

Multiplica por 2 el número representado en el ábaco siguiente:

Solución:

Multiplicamos por dos, es decir duplicamos, las bolas pegadas al travesaño central en cada alambre:

Tenemos en cuenta que cada pareja de bolas situadas en el compartimento superior en cada alambre equivale a diez unidades del mismo alambre y, por tanto, a una unidad del alambre situado a su izquierda. 

De esta forma, podemos cambiar las dos bolas del compartimento superior del segundo alambre, empezando por la derecha, por una bola del compartimento inferior del tercer alambre. Lo mismo en los dos alambres siguientes.

Así, obtenemos el número siguiente:

Por último, como cinco bolas en el compartimento inferior de un alambre equivalen a una bola en el compartimento superior del mismo alambre, podemos expresar el número en la forma siguiente:

Actividad 4 con el ábaco.

Calcula la suma de los números representados en los ábacos siguientes:

Solución:

Actividad 3 con el ábaco.

Dado el número representado en el ábaco siguiente:

Le restamos este otro:

Representa en un ábaco el resultado de dicha operación.

Solución:

Actividad 2 con el ábaco.

Tenemos tres números representados en los ábacos siguientes:

Si a cada uno de ellos le sumamos el número cuya representación es la que aparece en la figura D, representa el resultado correspondiente a cada caso en un ábaco diferente.

Solución:

Actividad con el ábaco.

Partimos de un ábaco en el que se ha representado un número, tal y como se muestra en la siguiente figura.

a)Si al número representado en el ábaco le sumamos 1 301, ¿cuál sería, de los dos siguientes, el ábaco que representa el resultado de efectuar dicha operación?

b)Si al número que tenemos en el ábaco inicial le restamos el número 355, ¿cuál sería, de los dos ábacos de las figuras siguientes, él que representa el resultado de efectuar dicha operación?

Solución:

a)Figura A

b)Figura D

Resta de dos números con el ábaco.

Veamos cómo restar dos números con el ábaco, teniendo en cuenta, como en la suma, que se empieza por la izquierda y observando el mecanismo siguiente:

Restar 1 =  quitar 5 y añadir 4 =  quitar 10 y añadir 9.

Restar 2 =  quitar 5 y añadir 3 =  quitar 10 y añadir 8.

Restar 3 =  quitar 5 y añadir 2 =  quitar 10 y añadir 7.

Restar 4 =  quitar 5 y añadir 1 =  quitar 10 y añadir 6.

Restar 5 =  quitar 10 y añadir 5.

Restar 6 =  quitar 5 y  quitar 1 =  quitar 10 y añadir 4.

Restar 7 =  quitar 5 y  quitar 2 =  quitar 10 y añadir 3.

Restar 8 =  quitar 5 y  quitar 3 =  quitar 10 y añadir 2.

Restar 9 =  quitar 5 y  quitar 4 =  quitar 10 y añadir 1.

Veamos un ejemplo, en el que se efectúa la resta 752 - 376.

Se empieza representando el número 752 en el ábaco.

Según el mecanismo citado, restar 376 es equivalente a realizar los pasos siguientes:

1º. Restamos 300. Para ello:

-      Quitamos una bola de 500 (una bola del compartimento superior correspondiente al alambre 3º).

-      Añadimos dos bolas de 100 (dos bolas del compartimento inferior correspondientes al alambre 3º), que equivale a sumar 200.

2º. Restamos 70. Para ello:

-      Quitamos una bola de 100.

-      Añadimos tres bolas de 10 (tres bolas del compartimento inferior correspondientes al 2º alambre).

3º. Restamos 6. Para ello:

-      Quitamos una bola de 10.

-      Añadimos una  bola de 5 unidades (una bola del compartimento superior correspondiente al alambre 1º).

-      Quitamos una bola de 1 (una bola del compartimento inferior correspondiente al alambre 1º).

Después de todos estos pasos, en el ábaco aparece representado el número 376, que es el resultado de la resta propuesta.

Para ver más claramente esta operación con el ábaco, puede interesarte conocer la representación de un número en el ábaco y la suma de dos números en el ábaco.

Si quieres ver la representación de un número en el ábaco pincha en el enlace siguiente:

http://miblogssiempremaths.blogspot.com.es/2015/06/representacion-de-numeros-en-el-abaco.html

Si quieres ver la suma de dos números en el ábaco pincha en el enlace siguiente:

http://miblogssiempremaths.blogspot.com.es/2015/06/suma-con-el-abaco.html