Problema 117

¿Es posible que una esfera cuyo volumen sea de p metros cúbicos tenga una superficie de p metros cuadrados, para algún valor de p? 

¿Cuánto valdría p?

Solución:

Suponemos que existe una esfera que lo cumple.

Si r es el radio de la esfera, su volumen es:

La superficie de dicha esfera es:

En este caso, se cumple que:

Esto indica que la única esfera que lo cumple es la que tiene un radio de 3 metros.

Su superficie sería, en este caso:

Por tanto: 

Pecera y esfera

En una pecera con forma de ortoedro, llena de agua hasta el borde, se introduce una esfera maciza de 10 cm de radio, por lo que se derrama una cantidad de agua. Después, se saca la esfera otra vez, con lo que el nivel del agua ha bajado. 

¿Qué altura alcanza el nivel del agua en la pecera al sacar la esfera, si las dimensiones del ortoedro son 40 cm de largo, 30 cm de ancho y 20 cm de alto?   

Solución:

El volumen de la esfera es:

El volumen del ortoedro y, por tanto, del agua inicial es:

Al introducir la esfera y volver a sacarla, el agua que queda dentro de la pecera ocupará el siguiente volumen:

Esta cantidad de agua ocupará el volumen de un ortoedro 40 cm de largo, 30 cm de ancho y h cm de alto, siendo h la altura que debemos calcular.

El volumen de dicho ortoedro es V = 40·30·h = 1200 h cm³.

Igualando ambos volúmenes, obtenemos la siguiente ecuación:

Despejamos el valor de h, que es la solución del problema:

Cilindro recortado

Si en un cilindro de 5 cm de radio, disminuimos su altura en un tercio, su volumen disminuye 240 cm³.

¿Cuál es la altura del cilindro?

Solución:

Sean r = 5 cm y h el radio y la altura, respectivamente, del cilindro.

Al reducir en un tercio su altura, esta se convierte en 2h/3, lo que equivale a decir que se le ha recortado un cilindro cuyo radio es   r = 5 cm y cuya altura es h/3. Y el volumen de este último cilindro ha de ser 240 cm³. Por tanto:

Volumen de agua

En un cubo de 10 m de arista se introduce una esfera maciza que es tangente a todas las caras del cubo.

Después se echa la cantidad de agua necesaria para completar el cubo hasta el borde.

¿Cuántos litros de agua se han introducido?

Solución:

La cantidad de agua será la que corresponde al volumen del cubo menos el de la esfera. 

Al ser tangente a todas las caras del cubo, se deduce que el radio de la esfera mide 5 m.

Por tanto, la cantidad de agua introducida es:

Haciendo una aproximación, podemos concluir que se introducen 476416,6 litros de agua, aproximadamente.

Optimización

Dado un cilindro de 4 m³ de volumen, calcula sus dimensiones para que sea mínima su área.

Solución:

Si llamamos r al radio de su base y h a su altura, tenemos que el volumen del cilindro es:

Su área, que es la función que debemos minimizar, es:

Para que dependa de una sola variable, sustituimos la h por la expresión que se obtiene al despejarla de la ecuación del volumen:

Derivamos e igualamos a cero, en busca de extremos relativos:

Calculamos la segunda derivada:

Al sustituir en ella el valor obtenido de r, resulta un valor positivo, por lo que en dicho punto se alcanza un mínimo.

El valor de h correspondiente a ese valor de r es:

Así, sus dimensiones han de ser:

Problema 90

Se tiene un lapicero cuya longitud total es de 14 centímetros (incluyendo su punta recién afilada).

Se ha observado que, cada vez que se afila el lápiz, éste se acorta una longitud de  cinco milímetros y que, recién afilado, su parte cónica (incluida la mina) tiene una longitud de 15 milímetros.

¿Cuántas veces será necesario afilar este lápiz para que el volumen de su parte cónica coincida con un sexto del volumen de su parte cilíndrica?

Solución:

Utilizamos el siguiente dibujo:

Se observa que el radio de la parte cilíndrica coincide con el de la base de su parte cónica.

Llamando r a dicho radio y h a la altura de la parte cilíndrica y, teniendo en cuenta el enunciado del problema, podemos plantear la siguiente ecuación:

Al resolverla, se deduce que h = 30 mm = 3 cm.

Del dibujo se deduce que la longitud inicial de la parte cilíndrica es 12,5 cm, por lo que tendrá que perder 9,5 centímetros.

Así, es necesario afilar el lápiz 19 veces.

Problema 79

Una empresa fabrica envases para productos líquidos utilizando cartón reciclable y tratando de presentar diseños originales que llamen la atención de sus clientes.

El último pedido que les hizo una envasadora de zumos estaba formado por recipientes en forma de prisma triangular cuya base era un triángulo equilátero de 36 centímetros cuadrados de superficie, y con una altura de 12 centímetros.

Ahora la misma envasadora quiere que le fabriquen envases en forma de prisma hexagonal, pero con las siguientes condiciones:

- El contorno de la base, un hexágono regular, ha de ser el mismo que en los envases de base triangular.

- El volumen de líquido que quieren envasar en el nuevo modelo es el mismo que el contenido en el modelo de base triangular.

¿Cuál debe ser la altura del nuevo envase?

Solución:

Si triangulamos un hexágono regular y un triángulo equilátero, ambos del mismo perímetro, observamos lo siguiente:

El triángulo contiene cuatro triángulos equiláteros pequeños, cuyo lado mide la mitad del lado del triángulo inicial. Sin embargo, el hexágono contiene seis de dichos triángulos pequeños. Por tanto, si S es la superficie del triángulo, la del hexágono es  S´ = 6S/4.

Aplicando esto a nuestro problema, la base del nuevo envase será un hexágono cuya superficie es S´= 6·36/4 = 54 cm².

El volumen del primer envase (área de la base por la altura del prisma) era 36·12 = 432 cm³, y este volumen debe mantenerse en el envase nuevo.

Como en este último acabamos de ver que la base mide 54 cm², deducimos que su altura debe ser 432:54 = 8 cm.

Optimización

Se va a construir un depósito cilíndrico de aluminio para almacenar 2000 litros de agua. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que la cantidad de aluminio utilizada sea mínima?

Solución:

Si llamamos r al radio de la base y h a la altura del cilindro, sabiendo que su volumen debe coincidir con los 2000 litros de agua, obtenemos que:

Y de aquí, podemos despejar su altura:  h = 2000/πr²

La función que queremos minimizar es la superficie del cilindro, es decir:

S = 2 π r² + 2 π r h

Para que la función dependa de una sola variable, sustituimos la altura por la expresión despejada anteriormente:

Derivamos e igualamos a cero, en busca de extremos relativos:

Comprobamos si en este punto se alcanza un extremo, sustituyendo en la segunda derivada de la función:

Así, queda comprobado que la función alcanza un mínimo relativo en este valor de r. Y la altura correspondiente es:

Por tanto, el gasto en aluminio será mínimo si las dimensiones del depósito son:

(Puede observarse que la altura del cilindro coincide con el diámetro de su base)

Optimización

Con planchas cuadradas de cartón de 400 cm² cada una, se van a construir cajas sin tapa. Para ello, se recortarán cuadrados iguales en cada vértice de una plancha.

¿Cuál debe ser el lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo?

Solución:

Como el área de cada una de las planchas cuadradas es 400 cm², se deduce que la longitud de su lado es 20 cm. Por lo tanto, la figura que se obtiene al recortar los cuadrados de lado x en las esquinas es la siguiente:

La base de la caja que se va a formar es un cuadrado de 20-2x cm de lado y la altura de la caja será x cm. Así, la función que se quiere maximizar, su volumen, es:

f(x) = (20 – 2x)²·x = (400 + 4x² – 80x)x = 4x³ – 80x² + 400x

Derivamos e igualamos a cero, buscando extremos relativos:

f´(x) = 12x² – 160x + 400 = 0; 3x² – 40x + 100 = 0

Resolvemos la ecuación:

Las dos soluciones de la ecuación son x = 10 y x = 20/6 = 10/3, pero la primera no tiene sentido en este problema.

Para ver si en la segunda se alcanza el máximo, calculamos la segunda derivada de la función:

f´´(x) = 24x – 160

f´´(40/3) = 24·(10/3) – 160 = 80 -160 < 0

De esta forma, queda comprobado que si recortamos un cuadrado de lado 10/3 cm en las esquinas, el volumen de la caja será máximo.

Optimización

Halla las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular, sabiendo que su volumen ha de ser 9 m³, su altura 1 m y que el coste por m² es de 50 € para la base, 60 € para la tapa y 40 € para cada pared lateral.

Solución:

Llamamos x, y, a las dimensiones de la base.

El volumen del depósito es V = x·y·altura = xy = 9 m³, de donde se deduce que y = 9/x

El coste de la base será 50xy, el de la tapa 60xy, y el de las paredes laterales 40(2x + 2y).

Así, la función que se quiere optimizar es:

C = 50xy + 60 xy + 40(2x + 2y) = 110xy + 80(x + y)

Pero, para dejarla en función de una sola variable, utilizamos la expresión de y en función de x:

Derivamos e igualamos a cero para determinar posibles extremos relativos:

(Observamos que la solución x= -3 no es factible al tratarse de la longitud de un lado).

Para comprobar si se trata de un mínimo, calculamos la segunda derivada de la función:

Así, la función C alcanza un mínimo en x = 3, por lo que y = 3 también. Es decir, que el coste es mínimo cuando la base del contenedor es un cuadrado de lado 3 m.

Optimización.

Determinar las dimensiones de una piscina abierta al aire, de volumen 32 m³, con un fondo cuadrado y con la misma profundidad en todos sus puntos, de manera que la superficie de sus paredes y del fondo sea mínima.

Solución:

Si llamamos x al lado del cuadrado que forma el fondo de la piscina e y a la profundidad, en el dibujo siguiente se muestra la superficie de sus paredes y del fondo:

Por tanto, se deduce que la función superficie que queremos minimizar es S = x² + 4xy.

Como el volumen de la piscina es 32 = x²y, despejamos la variable y de esta ecuación:

La sustituimos en la función S para que esta función dependa sólo de la variable x:

Derivamos la función e igualamos a cero para buscar el mínimo relativo:

Comprobamos que se trata de un mínimo:

Si x=4, se verifica que y=32/16=2 m.

Así, la piscina debe medir 2 m de profundidad y su base 4 m de lado.