¿Puntos alineados?

¿Es posible que los puntos P(4, 1), Q(2, -2)  y  R(6, 5) pertenezcan a la misma recta?

Solución:

Para que los tres pertenezcan a la misma recta, el punto R debe pertenecer a la recta determinada por P y Q, ya que dos puntos del plano determinan una única recta que pase por ambos.

Hallamos la ecuación de dicha recta:

Su ecuación podemos escribirla en la forma y = m x + n.

Como P cumple su ecuación, obtenemos que 1 = 4 m + n.

Como Q cumple su ecuación, obtenemos que - 2 = 2 m + n.

Si restamos ambas ecuaciones, resulta que 3 = 2m, de donde despejamos m = 3/2.

Sustituimos este valor de m en la ecuación 1 = 4 m + n, con lo que se tiene 1 = 4·(3/2) + n, de donde despejamos n = - 5.

Hemos obtenido, de esta forma, que la recta que pasa por P y Q tiene como ecuación y = (3/2)x – 5.

Si sustituimos en la ecuación las coordenadas de R, vemos que R no la cumple. En efecto:

5 = (3/2)· 6 – 5 = 9 – 5 = 4, lo que es una contradicción

Por tanto, los tres puntos no pertenecen a la misma recta.

Áreas con Pick

Calcular el área de una figura en la que sus lados discurren por los puntos del geoplano es bastante sencillo, pero el ejercicio se complica si esto no es así. Para obtener la superficie encerrada por una figura en un geoplano cuadrado podemos utilizar una expresión llamada fórmula de Pick, que establece una relación entre los puntos del geoplano por los que pasan los lados de la figura, los puntos del geoplano que quedan dentro de ella sin tocar los lados y el área encerrada por la figura.

Así, si llamamos L al número de puntos por los que pasan los lados de la figura e I al número de puntos del geoplano encerrados en la figura sin tocar sus lados, tenemos que el área según la fórmula de Pick es:

Área = (L / 2) + I - 1

De esta forma, vamos a calcular el área de la siguiente figura del geoplano utilizando la fórmula de Pick. 

Contando los puntos que tocan los lados de la figura y los puntos interiores a ella que no tocan los lados, tenemos que L = 16 y que  I =  12, por lo que el área es:

Área = (16 / 2) + 12 - 1 = 19  unidades de superficie

Actividad

Utilizando la fórmula de Pick, calcula el área de la siguiente figura, que es el contorno de una región llana Centroafricana en la cual varios gobiernos, en colaboración con algunas ONGs, intentan crear un parque natural que proteja la biodiversidad y la fauna de la zona. El perfil de la zona se ha obtenido realizando una fotografía aérea y llevando después dicha fotografía sobre un geoplano cuadrado, donde la unidad de longitud es de 3000 metros.

Si cada guardia del parque puede cubrir como máximo una superficie de 8 km², averigua el número mínimo de vigilantes que son necesarios para llevar a cabo dicha vigilancia.

                                                                                                                    

 Solución

El número de puntos por los que pasan los lados es 8 y el número de puntos interiores es 16. Así, la superficie de la figura es:

S = 4+16-1= 19 unidades de superficie

Como la unidad de longitud es 3000 m, la unidad de superficie será 9·10⁶ m², de forma que la superficie del parque es:

19·9·10⁶ m² = 171·10⁶ m² = 171 km²

Si dividimos esta superficie entre los 8 km² que, como máximo, puede cubrir un vigilante, obtenemos que son necesarios 22 vigilantes como mínimo.

Cuadrados en un geoplano

Si consideramos un geoplano cuadrado 3 x 3 y tratamos de dibujar en él todos los cuadrados diferentes, de lado entero, observamos que sólo pueden encontrarse dos distintos: el de una unidad de lado y el de dos unidades de lado.

Si hacemos lo mismo sobre un geoplano 4 ´ 4, encontraremos un nuevo cuadrado cuyo lado es de 3 unidades.

De forma análoga, se puede ampliar a un geoplano 5 ´ 5, obteniéndose otro cuadrado de lado 4 unidades y, sucesivamente, se puede generalizar hasta un geoplano de dimensiones n ´ n.

Paralelamente a la construcción de nuevos cuadrados, también puede hacerse un recuento de los puntos por los que pasa cada uno de ellos. Así, por ejemplo, el cuadrado de lado una unidad pasa por cuatro puntos, y el cuadrado de lado dos unidades pasa por 8 puntos.

Con todos estos datos podemos completar las siguientes tablas:

Manipulando geoplanos de otras dimensiones, generaliza los resultados anteriores y completa las tablas siguientes:

Solución:

Paralelas dos a dos

De dos rectas r y s sabemos que son paralelas, que r pasa por el punto P(1,5) y que s pasa por el punto Q(3,4).

Si además la distancia entre los puntos en los que las rectas cortan al eje de ordenadas es cuatro unidades de longitud, ¿cuáles son las ecuaciones de r y s?

Solución:

Al ser paralelas, ambas tienen la misma pendiente y podemos escribir sus ecuaciones de la forma siguiente:

r: y = m x + n

 s: y = m x + n´

Como P pertenece a la recta r, se cumple que 5 = m + n.

Como Q pertenece a la recta s, se cumple que 4 = 3 m + n´.

Sabemos, además, que la distancia entre R(0,n) y T(0,n´)es 4, lo que significa que n – n´= 4 o que n´- n = 4.

- En el primer caso, n = 4 + n´, y así tenemos el sistema siguiente:

Resolviendo este sistema, obtenemos que m = 3/2, n´= - 1/2 y, en consecuencia, n = 7/2.

Las ecuaciones de las rectas en este caso son:

- En el segundo caso, n´= n + 4, y así tenemos el sistema siguiente:

Resolviendo este sistema, obtenemos que m = - 5/2, n = 15/2 y, en consecuencia, n´= 23/2.

Las ecuaciones de las rectas en este caso son:

Recta que pasa por tres puntos

Si la recta r pasa por los puntos P(a,a+1), Q(a+1,a) y R(2,9), encuentra la ecuación general de r.

Solución:

Como P y Q son puntos de r, la pendiente de esta recta es:

Y, como R(2,9) también es un punto de la recta, la ecuación punto-pendiente de r es: y – 9 = - 1·(x – 2).

Operando y simplificando, se deduce que la ecuación general de la recta r es x + y = 11.

Tipo test

En la clase de 3º A se ha realizado un examen tipo test de Geografía que constaba de 30 cuestiones. Cristina ha respondido a 25 de las cuestiones y ha obtenido una calificación de 30 puntos. 

Teniendo en cuenta que por cada cuestión respondida correctamente se consiguen 3 puntos; por cada cuestión no contestada se resta 1 punto y por cada cuestión contestada incorrectamente se restan 2 puntos, ¿cuántas respuestas correctas y cuántas incorrectas tiene Cristina?

Solución:

Sean x las respuestas correctas. Como ha dejado 5 sin responder, las respuestas incorrectas son 25-x.
Así, la ecuación que se plantea es:

3·x + (- 1)· 5 + (-2)·(25-x) = 30

3x - 5 - 50 + 2x = 30

5x = 85

x = 85/5 = 17

Luego tiene 17 respuestas correctas y 8 incorrectas.