Ejercicios resueltos de operaciones con radicales.

1.Efectúa las siguientes sumas y restas, simplificando el resultado:

Solución:

2. Efectúa las siguientes multiplicaciones y divisiones, simplificando el resultado:

Solución:

Radicales.

Pincha sobre cada título para acceder al contenido.

Definición de un radical y sus propiedades.

Producto de radicales.

División de radicales.

Potencia y raíz de un radical.

Suma de radicales.

Racionalización.

Ejercicios resueltos de radicales.

Suma de radicales.

Se pueden sumar varios radicales cuando todos ellos tienen el mismo índice y el mismo radicando. La operación se realiza extrayendo como factor común el radical que se repite; es decir:

Ejemplos:

A veces, a simple vista parece que no puede efectuarse la suma porque los radicales son distintos y, sin embargo, son equivalentes; es decir, que podemos simplificarlos y extraer factores de forma que la suma puede realizarse.

Ejemplo:

Ejercicios resueltos de radicales.

1. Efectúa las siguientes multiplicaciones:

Solución:

a) Observamos que todos los radicales tienen el mismo índice y, por tanto:

b) Al tratarse de radicales con índices distintos los reducimos a índice común, teniendo en cuenta que el mínimo común múltiplo de todos ellos es 20:

c) También se trata de radicales con índices distintos y los reducimos a índice común, teniendo en cuenta que el mínimo común múltiplo de todos ellos, en este caso, es 6:

d) Ahora, el mínimo común múltiplo de los índices es 18:

2. Efectúa las divisiones siguientes:

Solución:

a) Como los radicales tienen el mismo índice, ya podemos dividir directamente:

b) En este caso también tienen el mismo índice:

c) Como los índices son distintos, previamente reducimos los radicales a índice común, que será el mínimo común múltiplo de sus índices, es decir, 20:

3.Realiza las operaciones siguientes, simplificando el resultado:

Solución:

a) 

b) 

c) 

d) 

e)  

4.Racionaliza los denominadores en las fracciones siguientes:

Solución:

a) 

b) 

c) 

d) 

5. Efectúa las sumas siguientes:

Solución:

Racionalización.

Cuando en una fracción, numérica o algebraica, aparecen radicales en el denominador se pueden complicar las operaciones en las que interviene. Con el fin de evitar estas dificultades, es muy útil obtener una fracción equivalente a ella, en cuyo denominador no exista ningún radical. Este proceso recibe el nombre de racionalización del denominador.

Existen diversos tipos de racionalización y vamos a estudiar aquí dos de ellos.

Tipo 1: cuando en el denominador aparece un único radical; es decir, cuando la fracción es de la forma siguiente:

Para racionalizar en esta fracción vamos a suponer que m es menor que n, pues en caso contrario simplificamos previamente el radical, extrayendo de la raíz el factor correspondiente.

El procedimiento de racionalización consiste en multiplicar el numerador y el denominador (para obtener una fracción equivalente) por el siguiente radical:

Observamos qué ocurre con este proceso:

Vemos que se ha obtenido una fracción equivalente a la inicial pero en cuyo denominador ya no aparece ningún radical.

Ejemplo:

Vamos a racionalizar la siguiente fracción:

Teniendo en cuenta que 9 = 3², seguimos el procedimiento explicado anteriormente:

Tipo 2: cuando en el denominador aparece la suma o la diferencia de dos raíces cuadradas; es decir, si la fracción inicial es de una de las dos formas siguientes:

Para racionalizar en este caso, hemos de multiplicar el numerador y el denominador de la fracción dada por la expresión conjugada de su denominador, teniendo en cuenta que:

En cualquiera de las dos fracciones iniciales, este proceso de racionalización daría lugar a lo siguiente:

Vemos que se ha obtenido una fracción equivalente a la inicial pero en cuyo denominador ya no aparece ningún radical.

Ejemplo:

Vamos a racionalizar en la fracción siguiente:

Seguimos el procedimiento explicado: