Optimización

El dueño de una papelería observa que si el precio que cobra por una fotocopia es de x céntimos de euro, sus beneficios vienen dados por la expresión B = - x² + 100x – 2300, en euros al día.

a)¿Qué beneficio obtiene si vende las fotocopias a 40 céntimos?

b)¿Qué precio debe poner a cada fotocopia para obtener el máximo    beneficio?

c)¿Cuál será ese beneficio máximo?

Solución:

a)Si las vende a 40 céntimos, el beneficio es:

B(40) = - 40² + 100·40 – 2300 = - 1600 + 4000 – 2300 = 100 euros diarios

b) Derivamos la función B.

B´= - 2x + 100

B´= 0 ⟺ - 2x + 100 = 0 ⟺ x = 50

B´´(50) = - 2 < 0 ⟹ en x = 50 se alcanza un máximo

Luego, debe poner a 50 céntimos cada fotocopia para obtener el máximo beneficio.

c) Ese beneficio máximo es:

B(50) = - 50² + 100·50 – 2300 = - 2500 + 5000 – 2300 = 200 euros diarios.

Optimización

El frutero de mi barrio observa que si el precio al que vende el kg de patatas es x céntimos de euro, sus beneficios vendrán dados por la expresión B (x) = - x² + 100 x – 2300, en euros, al día.

1) ¿Qué beneficio obtiene si vende el kg a 40 céntimos?

2) ¿Qué precio debe poner al kg para obtener un beneficio máximo?

3) ¿Cuál será ese beneficio máximo?

Solución:

1)El beneficio es B (40) = - 40² + 100·40 – 2300 = 100 €

2)Calculamos los posibles extremos relativos:

B´(x) = - 2x + 100 = 0; 2x = 100; x = 50

B´´ (x) = -2; B´´ (50) = -2 < 0

Por tanto, se alcanza un beneficio máximo cuando el precio del kg sea de 50 céntimos.

3) El beneficio máximo es B (50) = - 50² + 100·50 – 2300 = 200 €