Selectividad Murcia 2016 (Resuelta)

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Problemas resueltos de integral definida.

Problemas y ejercicios resueltos del Método de Gauss.

Problemas y ejercicios resueltos.

Selectividad 2015 Murcia

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD–MURCIA–JUNIO-2015

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS C.C.SS. II

OPCIÓN A

CUESTIÓN A1. Dadas las matrices:

a)Calcula B^t + 2C.

b)Halla la matriz X que cumple AX = B^t + 2C, siendo:

Solución:

a) 

b)

Este sistema es equivalente a:

Por tanto:

CUESTIÓN A2. Dada la función:

calcula:

a)Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b)Los máximos y los mínimos relativos.

c)Los puntos de corte con los ejes.

Solución:

a)Al tratarse de una función polinómica, el dominio es el conjunto de todos los números reales. Para hallar los intervalos de monotonía, igualamos a cero la derivada de la función y resolvemos la ecuación que se obtiene:

f´(x) = 0

x – x² = 0

x(1 – x) = 0

Las soluciones de la ecuación son x = 0 y x = 1, puntos en los que puede haber extremos relativos.

Si x < 0, x(1 – x) < 0, es decir, f´(x) < 0

Si 0 < x < 1, x(1 – x) > 0, es decir, f´(x) > 0

Si x > 1, x(1 – x) < 0, es decir, f´(x) < 0

Así:

f(x) es estrictamente creciente en el intervalo (0, 1) y es estrictamente decreciente en los intervalos (- ∞,0) y (1, + ∞)

b)Los puntos en los que se anula la derivada de la función f(x) son x = 0 y x = 1. Vemos el signo que toma la segunda derivada de la función en estos puntos:

f´´(x) = 1 – 2x

f´´(0) = 1 > 0, por lo que se alcanza un mínimo relativo

f´´(1) = - 1 < 0, por lo que se alcanza un máximo relativo

Además, f(0) = 0 y f(1) = 1/2 - 1/3 = 1/6, luego tenemos un mínimo relativo que es el punto (0, 0) y un máximo relativo que es el punto (1, 1/6).

c)El punto de corte con el eje Y es el que corresponde al valor de  x = 0, es decir el punto (0, 0).

Calculamos los puntos de corte con el eje X, para lo que debe cumplirse que f(x) = 0.

Así, los puntos de corte con el eje X son: (0,0) y (3/2, 0).

CUESTIÓN A3. Halla una primitiva F(x) de la función f(x) que cumpla que F(1) = 0, siendo f(x) = x³ – 2x² + x – 2.

Solución:

Hallamos la integral indefinida de f(x):

La primitiva F(x) será aquella cuyo valor de K haga que se cumpla la condición pedida.

Por tanto:

CUESTIÓN A4. La probabilidad de aprobar la asignatura A es 2/3 y la de aprobar la asignatura B es 1/2. Además, la probabilidad de aprobar las dos es 1/4.

a)Halla la probabilidad de no aprobar ninguna de las dos asignaturas

b)Calcula la probabilidad de aprobar A pero no B.

Solución:

Si P(A)= 2/3 es la probabilidad de aprobar A, la de no aprobarla es P(A^c) = 1 – 2/3 = 1/3.

Análogamente, si P(B)= 1/2 es la probabilidad de aprobar B, la de no aprobarla es P(B^c) = 1 – 1/2 = 1/2.

Sabemos además, que la probabilidad de aprobar A y B es 1/4. Así, podemos colocar estos datos en la tabla siguiente:

Y, a partir de ellos, completamos los datos que faltan en la tabla:

Por tanto, ya tenemos las soluciones de ambos apartados:

a)  La probabilidad de no aprobar ninguna de las dos asignaturas es 1/12.

b)  La probabilidad de aprobar A pero no B es 5/12.

CUESTIÓN A5. Un estudio sociológico afirma que la proporción de estudiantes de una población es 2/5. Si en una muestra aleatoria de 700 individuos de la población hay 100 estudiantes, ¿puede admitirse a un nivel de confianza del 99% la afirmación del estudio?

Solución:

Se trata de un contraste de hipótesis bilateral, con las siguientes hipótesis:

Como en la muestra de n = 700 individuos de la población hay 100 estudiantes, tenemos que:

Como el nivel de confianza es del 99%, tenemos que:

Utilizando la tabla de la distribución normal, resulta:

Por tanto, el intervalo de aceptación es (- 2,575, 2,575).

Calculamos el estadístico de contraste para ver si pertenece o no a dicho intervalo:

Este valor no pertenece al intervalo de aceptación y, por ello, se rechaza la hipótesis de que la proporción de estudiantes de la población es de 2/5.

Tres números

De tres números x, y, z, sabemos lo siguiente: que el primero más el segundo suman cero; que el primero más el tercero suman uno; que la suma de los tres vale cero; y, por último, que el primero multiplicado por un número k más el doble de la suma del segundo y el tercero da uno.

a) ¿Qué puedes decir del valor de k?

b) ¿Cuánto vale cada uno de los tres números?

Solución:

a)  Las condiciones mencionadas dan lugar al sistema siguiente:

Aplicamos el método de Gauss:

Así, k = 3 porque, en otro caso, el sistema sería incompatible.

b) Considerando k = 3, resolvemos el sistema: 

z = - 1

y – z = 1 Þ y = z + 1 = - 1 + 1 = 0

x + z = 0 Þ x = - z = 1

Por tanto, los números son x = 1, y = 0, z = - 1.

Probabilidad de cambio de tiempo

Supóngase que el tiempo (climatológico) solo se puede clasificar como bueno o malo y que, en cierta zona, la probabilidad de que se produzca, de un día para otro, un cambio de tiempo es de 0,3.

a) Si la probabilidad de que haga buen tiempo en esa zona el día 11 de junio es de 0,4 ¿qué probabilidad hay de que el 12 de junio haga buen tiempo?

b) Si el día 12 hace buen tiempo, halla la probabilidad de que el día 11 haya hecho mal tiempo.

Solución:

Hacemos el diagrama de árbol asociado al problema, teniendo en cuenta que si la probabilidad de que se produzca, de un día para otro, un cambio de tiempo es de 0,3, la probabilidad de que el tiempo no cambie es 0,7:

a) En el árbol se observa que las dos ramas en las que el tiempo es bueno el día 12 son la primera y la tercera, por lo que multiplicando en cada una de esas ramas las probabilidades que aparecen en ellas, deducimos que la probabilidad de que el día 12 el tiempo sea bueno es:

P(“el día 12 sea bueno”) = 0,4 · 0,7 + 0,6 · 0,3 = 0,46

b) Las dos ramas en las que el tiempo es bueno el día 12 son la primera y la tercera, pero solo en la tercera el tiempo en el día 11 es malo. Por tanto, la probabilidad de que el día 11 haya hecho mal tiempo si el día 12 es bueno es:

P(“el día 11 es malo”/“el día 12 sea bueno”) =

Probabilidad en las elecciones

A unas elecciones se presentan seis candidatos: A, B, C, D, E y F. Se estima que B, C Y D tienen la misma posibilidad de ganar, que es la mitad de la probabilidad de que gane A, y que E y F tienen la misma probabilidad de ganar, que es el triple de la probabilidad de que gane A. Calcula:

a) La probabilidad de ganar, de cada candidato.

b) La probabilidad de que gane A o F.

c) La probabilidad de que no gane E.

Solución:

a) Llamamos p (B) = x, y tenemos: p (B) = p (C) = p (D) = x.

  Como A tiene una probabilidad de ganar doble que B, se cumple que      p (A) = 2x.

   Como E y F tienen triple probabilidad que A: p (E) = p (F) = 3x.

   Al ser la suma de todas las probabilidades igual a uno, tenemos:

  Luego:

p (A) =  2/17, p (B) = p (C) = p (D) = 1/17 y p (E) = p (F) = 6/17

b) Como A y F son sucesos incompatibles, la intersección de ambos es      el suceso imposible, cuya probabilidad es cero, y, por tanto:

   Así, la probabilidad de que gane A o F es 8/17.

c) Si el suceso F es {“gana el candidato F”}, lo que queremos hallar    es la probabilidad de su contrario, F ^c. Así:

P (F ^c) = 1 – P(F) = 1 – 6/17 = 11/17

Encuentra tres números

Encuentra tres números tales que su suma sea 210, la semisuma del primero y del último más la cuarta parte del otro sea 95, y de forma que la media aritmética de los dos últimos sea 80.

Solución:

Llamamos x, y, z, al primero, segundo y tercer número, en este orden.

Expresando las condiciones dadas en el enunciado como ecuaciones lineales, obtenemos el sistema:

Multiplicando la segunda ecuación por cuatro y la tercera por dos, se obtiene que el sistema es equivalente al siguiente:

Aplicamos el método de Gauss a este último sistema: 

De aquí, se deduce que los números buscados son:

x = 50, y = 40  y  z = 120

Valor del parámetro

Encuentra el valor del parámetro "a" para que el sistema siguiente sea compatible indeterminado.

Solución:

A partir de la matriz ampliada asociada al sistema, se aplica el método de Gauss:

Por tanto, para que el sistema sea compatible indeterminado  debe cumplirse que a – 13 = 0. Es decir, que a = 13.

Sistema compatible indeterminado

Resuelve el sistema siguiente, utilizando el método de Gauss:

Solución:

Formamos la matriz ampliada y aplicamos las transformaciones de equivalencia que se  indican:

Al ser nula la tercera fila, se observa que el sistema es compatible indeterminado y tendrá infinitas soluciones que dependerán de un parámetro, ya que tenemos tres incógnitas y dos ecuaciones no nulas.

Teniendo en cuenta que se ha realizado un cambio de columnas, llamamos x = a, y despejamos:

Así, la solución general es:

Muestreo estratificado

Una empresa dispone de 300 impresoras matriciales, 1500 de inyección de tinta y 200 láser. Para estudiar la eficacia de las mismas decide extraer una muestra de 40 impresoras mediante un muestreo estratificado.

¿Cuál es el tamaño correspondiente a cada estrato?

Solución:

Consideramos los tres estratos, impresoras matriciales, de inyección y láser, y llamamos x, y y z respectivamente al número de impresoras matriciales, de inyección y láser que tomamos para cada estrato.

Como el tamaño debe ser proporcional al número de impresoras que tiene cada uno se cumple:

Tomando ahora las proporciones adecuadas tenemos:

Luego tomamos 6 impresoras matriciales.

Entonces, se toman 30 de inyección.

Y, por tanto, se cogen 4 impresoras láser.

Integral definida 5

Halla el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones f (x) = - x² + 4 y g (x) = 2·f(x).

Solución:

Buscamos los valores de x en los que se cortan dichas gráficas, para lo que igualamos sus expresiones:

f (x) = g (x); - x² + 4 = 2· (- x² + 4); x² =  4; x = 2 y x = - 2

Así, ambas funciones, cuyas gráficas son sendas parábolas, se cortan sólo en los puntos cuyas abscisas son los valores de x obtenidos. 

Por tanto, x = 2 y x = -2 son los límites de integración.

Para cualquier valor de x perteneciente al intervalo (-2,2) se cumple que f(x) < g(x), por lo que el área buscada es la integral definida de g(x) – f(x) = 2·f(x) – f(x) = f(x), con los límites de integración señalados anteriormente. Es decir: