Multiplicación de polinomios.

Multiplicación de un polinomio por un número real.

Dado un polinomio cualquiera P (x), para multiplicarlo por un número real m, se multiplica cada uno de los coeficientes del polinomio por m. Es decir:

m· P (x) = m· (a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ) =

= m·a₀ + m·a₁ x + m·a₂ x² + … + m·a_n xⁿ

Ejemplos:

a)3·(5 – 2 x + 7 x³ – x⁵) = 15 – 6 x + 21 x³ – 3 x⁵

b)- 6·(- 2 + 5 x² – 4 x³) = 12 - 30 x² + 24 x³

c)(2/3)·( 6 x + 9 x² – 3 x³) = 4 x + 6 x² – 2 x³

Multiplicación de un monomio por un polinomio.

Para multiplicar un monomio M (x) = a_m x^m por un polinomio cualquiera P (x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ, se multiplica el monomio M (x) por cada uno de los monomios que componen el polinomio P (x), utilizando las propiedades de las potencias. Es decir:

M (x) · P (x) = (a_m x^m) · (a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ) =

= a_m · a₀ x^m + a_m · a₁ x^{m + 1} + a_m · a₂ x^{m + 2} + … + a_m · a_n x^{m + n}

Ejemplos:

a)3 x² · (- 5 + 2 x + 4 x³) = - 15 x² + 6 x³ + 12 x⁵

b)- 4 x³ · (x² – 2 x³ – 3 x⁴) = - 4 x⁵ + 8 x⁶ + 12 x⁷

Multiplicación de dos polinomios.

Para multiplicar dos polinomios P (x) y Q (x), se utiliza la propiedad distributiva de modo que multiplicamos cada uno de los monomios que componen P (x) por el polinomio Q (x). Es decir, que si P (x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ, se tiene que:

P (x) · Q (x) =

= a₀ · Q (x) + (a₁ x)· Q (x) + (a₂ x²)· Q (x) + … + (a_n xⁿ)· Q (x)

Ejemplos:

a) Multipliquemos P (x) = 3 + 4 x – 5 x²  y Q (x) = - 6 x + 4 x²

(3 + 4 x – 5 x²)·(- 6 x + 4 x²) =

= 3·(- 6 x + 4 x²) + 4 x·(- 6 x + 4 x²) – 5 x²·(- 6 x + 4 x²)=

= - 18 x + 12 x² – 24 x² + 16 x³ + 30 x³ – 20 x⁴ =

= - 18 x – 12 x² + 46 x³ – 20 x⁴

b) Multipliquemos P (x) = x² – 6 x³  y Q (x) = 3 x + x² – 2 x³

(x² – 6 x³)·(3 x + x² – 2 x³) =

= x²·(3 x + x² – 2 x³) – 6 x²·(3 x + x² – 2 x³) =

= 3 x³ + x⁴ – 2 x⁵ – 18 x³ – 6 x⁴ + 12 x⁵ =

= - 15 x³ – 5 x⁴ + 10 x⁵

En ocasiones, especialmente cuando queremos multiplicar polinomios con muchos términos, es más práctico colocarlos ordenados respecto de su grado uno encima de otro y multiplicar todos sus términos entre sí (como en la multiplicación de dos números de varias cifras), teniendo cuidado de colocar los términos resultantes del mismo grado por columnas para poderlas sumar.

Ejemplo:

Vamos a multiplicar los polinomios P (x) = 7 + 2 x + 5 x² – 2 x³  y  Q (x) = 2 + 3 x² – 2 x³.

Producto por 2 en el ábaco.

Multiplica por 2 el número representado en el ábaco siguiente:

Solución:

Multiplicamos por dos, es decir duplicamos, las bolas pegadas al travesaño central en cada alambre:

Tenemos en cuenta que cada pareja de bolas situadas en el compartimento superior en cada alambre equivale a diez unidades del mismo alambre y, por tanto, a una unidad del alambre situado a su izquierda. 

De esta forma, podemos cambiar las dos bolas del compartimento superior del segundo alambre, empezando por la derecha, por una bola del compartimento inferior del tercer alambre. Lo mismo en los dos alambres siguientes.

Así, obtenemos el número siguiente:

Por último, como cinco bolas en el compartimento inferior de un alambre equivalen a una bola en el compartimento superior del mismo alambre, podemos expresar el número en la forma siguiente:

Problema 114

Considera el número a = 12345679, formado por todos los dígitos del 1 al 9, excepto la cifra 8.

Si multiplicamos por 2 este número y el resultado lo multiplicamos por 9, obtenemos el número 222222222.

a)Multiplica el número a por 3, y el resultado obtenido por 9.

b)¿Qué número se obtiene si se multiplica a por cualquier dígito n comprendido entre 1 y 9, y el resultado se vuelve a multiplicar por 9?

Solución:

a)3·a = 37037037

  37037037·9 = 333333333

b)a·n·9 = 12345679·n·9

  

 Como la multiplicación de números naturales cumple la propiedad conmutativa, resulta que:

a·n·9 = a·9·n = 12345679·9·n = 111111111·n = nnnnnnnnn

Problema 100

Tenemos dos fracciones positivas que cumplen las condiciones siguientes:

-Si multiplicamos por tres la primera de ellas, obtenemos la mitad de la segunda.

-Si a la mayor le restamos la menor, obtenemos el número entero 3.

¿De qué fracciones se trata?

Solución:

Aunque se trate de fracciones, podemos sustituirlas por una única variable para facilitar los cálculos.

De esta forma, llamamos x a la primera de las fracciones e y a la segunda.

La primera condición, podemos expresarla de la forma 3·x = y/2, lo que equivale a decir que 6x = y.

De aquí, deducimos claramente que la mayor es y, al tratarse de dos fracciones positivas, y podemos expresar la segunda condición de la forma y – x = 3.

Luego tenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

6x = y

y – x = 3

Es fácil ver que 6x = x + 3, de donde concluimos que x = 3/5. 

Y, entonces, y = 3/5 +3 = 18/5.