Tamaño de las hojas de papel

Las hojas de papel que se utilizan normalmente son de un tipo estándar ya que existe un sistema de tamaños, aceptado internacionalmente. Estos tipos se denominan A0, A1, A2,..., A7.

La propiedad que verifican estos tamaños es que la hoja A1 es la mitad de la hoja A0; la A2 es la mitad de la A1; y así, sucesivamente.

1.Sabiendo que la hoja A0 tiene una superficie de un metro cuadrado, resulta posible calcular el área de todas las demás hojas.

¿Cuáles serían esas áreas para una hoja A3 y para una A4?

2.Puede demostrarse que, si todas las hojas han de guardar la misma proporción, debe cumplirse para todas ellas lo siguiente:

  Para hacer esta demostración,  utiliza una hoja A3, dóblala por la mitad y córtala por la línea que queda marcada al doblar. Reserva una de las mitades y repite el proceso anterior con la otra mitad. Vuelve a hacer lo mismo con las nuevas mitades tantas veces como precises hasta obtener una hoja de tamaño A7. Las mitades que has ido reservando puedes colocarlas de la forma que se indica a continuación.

¿Cómo se deduce de aquí la expresión que se quería demostrar?

3. A partir de la expresión demostrada y de la superficie de una hoja A4, deduce sus dimensiones.

Solución:

1.La superficie de una hoja A3 es la mitad de una A2 y, por tanto, la cuarta parte de una A1, que es la mitad de una A0; de esta forma, la superficie de una A3 es la octava parte de una A0; es decir, la octava parte de 1 metro cuadrado. Así, la superficie de una A3 es de 1250 cm².

  La superficie de una A4 es la mitad de una A3 y, por tanto, es de 625 cm².

2.Cogiendo dos hojas de tamaños consecutivos cualesquiera, se deduce que sus dimensiones son de la forma que se indica en el dibujo siguiente: 

Y, como se obtienen triángulos semejantes, podemos aplicar la siguiente proporción:

 Queda pues, demostrada la propiedad indicada.

3.Hemos visto en el apartado primero que la superficie de una hoja A4 es de 625 cm². Si a y b son sus dimensiones, debe cumplirse que, aproximadamente:

a· b = 625

b = 1,4142·a

Entonces, a·1,4142·a = 625, es decir que a² = 625/1,4142 = 441,94.

Despejando, se obtiene que a = 21,02 cm y b = 29,72 cm son las dimensiones de la hoja A4.

Problema 117

¿Es posible que una esfera cuyo volumen sea de p metros cúbicos tenga una superficie de p metros cuadrados, para algún valor de p? 

¿Cuánto valdría p?

Solución:

Suponemos que existe una esfera que lo cumple.

Si r es el radio de la esfera, su volumen es:

La superficie de dicha esfera es:

En este caso, se cumple que:

Esto indica que la única esfera que lo cumple es la que tiene un radio de 3 metros.

Su superficie sería, en este caso:

Por tanto: 

Problema 115

Se dispone de un aro que mide diez centímetros de radio y, por su parte interior y sin dejar de tocar al aro en ningún momento, se hace rodar una moneda cuyo radio es de dos centímetros.

1. Tras dar la vuelta completa al aro, ¿qué superficie habrá barrido la moneda en su recorrido?

2. Si en el mismo aro repetimos el mismo experimento utilizando una moneda cuyo diámetro sea doble del de la moneda anterior, ¿cuál será la superficie barrida?

3. Generaliza lo anterior para un aro de radio R y una moneda de radio r, siendo R y r números reales tales que R > r.

4. Deduce de dicha generalización qué ocurre cuando el radio de la moneda es la mitad del radio del aro.

Solución:

1.La superficie recorrida será la de una corona circular en la que el radio mayor es R = 10 cm y el menor es r = 10 - 4 = 6 cm.

Por tanto, dicha superficie es:

2.Como la moneda tiene un diámetro doble de la anterior, este medirá 8 cm. Así, en este caso, en la corona circular obtenida el radio mayor es R = 10 cm y el menor es r = 10 - 8 = 2 cm.

Por tanto, su superficie es:

3.Para esta generalización utilizamos el dibujo siguiente, en el que R es el radio del aro y r es el radio de la moneda:

En el dibujo observamos que, en esta corona circular, el radio mayor es R y el radio menor es R – 2r, de forma que su superficie es:

4.Si r = R/2, sustituyendo en la expresión anterior se obtiene que:

Por tanto, la superficie barrida coincide con la superficie total encerrada por el aro.

Problema 79

Una empresa fabrica envases para productos líquidos utilizando cartón reciclable y tratando de presentar diseños originales que llamen la atención de sus clientes.

El último pedido que les hizo una envasadora de zumos estaba formado por recipientes en forma de prisma triangular cuya base era un triángulo equilátero de 36 centímetros cuadrados de superficie, y con una altura de 12 centímetros.

Ahora la misma envasadora quiere que le fabriquen envases en forma de prisma hexagonal, pero con las siguientes condiciones:

- El contorno de la base, un hexágono regular, ha de ser el mismo que en los envases de base triangular.

- El volumen de líquido que quieren envasar en el nuevo modelo es el mismo que el contenido en el modelo de base triangular.

¿Cuál debe ser la altura del nuevo envase?

Solución:

Si triangulamos un hexágono regular y un triángulo equilátero, ambos del mismo perímetro, observamos lo siguiente:

El triángulo contiene cuatro triángulos equiláteros pequeños, cuyo lado mide la mitad del lado del triángulo inicial. Sin embargo, el hexágono contiene seis de dichos triángulos pequeños. Por tanto, si S es la superficie del triángulo, la del hexágono es  S´ = 6S/4.

Aplicando esto a nuestro problema, la base del nuevo envase será un hexágono cuya superficie es S´= 6·36/4 = 54 cm².

El volumen del primer envase (área de la base por la altura del prisma) era 36·12 = 432 cm³, y este volumen debe mantenerse en el envase nuevo.

Como en este último acabamos de ver que la base mide 54 cm², deducimos que su altura debe ser 432:54 = 8 cm.

Problema 78

Un granjero dispone de un almacén para guardar la cosecha, situado en el centro de una pradera y rodeado todo él de hierba. La planta de dicho almacén es un rectángulo cuyos lados miden 12 y 8 metros.

El granjero clava tres anillas en las paredes exteriores del almacén en las que poder atar a su caballo y las sitúa en los puntos A, B y C que aparecen en el siguiente dibujo, donde el rectángulo representa la planta del almacén.

a)Si dispone de una cuerda de seis metros de longitud para atar su caballo, ¿en cuál de las tres anillas le interesa sujetarla para que el animal pueda comer la mayor cantidad de la hierba que rodea al almacén?

b)Si encuentra otra cuerda, cuya longitud es de diez metros, y la utiliza para sujetar a su caballo en la anilla situada en B, ¿qué superficie de hierba estará al alcance del animal?

Solución:

a)Los dibujos correspondientes a las superficies que podría comer el caballo, según la anilla utilizada, son los siguientes:

Las superficies son:

-En la anilla A:

 superficie = a = (1/2)·p·6² = 18 p  m²

-En la anilla B:

 superficie = b = p·6²-(1/4·p·6²) = 27 p  m²

-En la anilla C:

 superficie = a + b + c =(1/2)·p·6² +(1/4)·p·2² +(1/4)· p · 2² =    =18 p + p  + p = 20 p  m²

Le interesa atarlo a la anilla B.

b)Si la cuerda es de 10 metros, el dibujo sería el que se muestra a continuación:

Se deduce que la superficie de hierba a la que puede acceder el animal es:

S = b + a = (3/4) · p · 10² + (1/4) · p · 2² = 75 p + p  = 76p m²

Actividad con geoplano triangular

Se considera en esta actividad un geoplano triangular, sobre el que se trazan triángulos equiláteros.

Llamamos unidad de longitud a la distancia entre dos puntos consecutivos del geoplano, tal y como se indica en las figuras siguientes:

Y llamamos unidad de superficie al área encerrada por un triángulo equilátero cuyo lado mide la unidad de longitud.

Observa los siguientes triángulos:

Haciendo un recuento de los puntos por los que pasa cada uno de los triángulos y teniendo en cuenta la superficie de cada uno de ellos, podemos empezar a rellenar la tabla que se presenta a continuación. Complétala tú.

Solución:

La tabla, ya completada, queda de la forma siguiente:

Optimización

Se va a construir un depósito cilíndrico de aluminio para almacenar 2000 litros de agua. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que la cantidad de aluminio utilizada sea mínima?

Solución:

Si llamamos r al radio de la base y h a la altura del cilindro, sabiendo que su volumen debe coincidir con los 2000 litros de agua, obtenemos que:

Y de aquí, podemos despejar su altura:  h = 2000/πr²

La función que queremos minimizar es la superficie del cilindro, es decir:

S = 2 π r² + 2 π r h

Para que la función dependa de una sola variable, sustituimos la altura por la expresión despejada anteriormente:

Derivamos e igualamos a cero, en busca de extremos relativos:

Comprobamos si en este punto se alcanza un extremo, sustituyendo en la segunda derivada de la función:

Así, queda comprobado que la función alcanza un mínimo relativo en este valor de r. Y la altura correspondiente es:

Por tanto, el gasto en aluminio será mínimo si las dimensiones del depósito son:

(Puede observarse que la altura del cilindro coincide con el diámetro de su base)

Áreas con Pick

Calcular el área de una figura en la que sus lados discurren por los puntos del geoplano es bastante sencillo, pero el ejercicio se complica si esto no es así. Para obtener la superficie encerrada por una figura en un geoplano cuadrado podemos utilizar una expresión llamada fórmula de Pick, que establece una relación entre los puntos del geoplano por los que pasan los lados de la figura, los puntos del geoplano que quedan dentro de ella sin tocar los lados y el área encerrada por la figura.

Así, si llamamos L al número de puntos por los que pasan los lados de la figura e I al número de puntos del geoplano encerrados en la figura sin tocar sus lados, tenemos que el área según la fórmula de Pick es:

Área = (L / 2) + I - 1

De esta forma, vamos a calcular el área de la siguiente figura del geoplano utilizando la fórmula de Pick. 

Contando los puntos que tocan los lados de la figura y los puntos interiores a ella que no tocan los lados, tenemos que L = 16 y que  I =  12, por lo que el área es:

Área = (16 / 2) + 12 - 1 = 19  unidades de superficie

Actividad

Utilizando la fórmula de Pick, calcula el área de la siguiente figura, que es el contorno de una región llana Centroafricana en la cual varios gobiernos, en colaboración con algunas ONGs, intentan crear un parque natural que proteja la biodiversidad y la fauna de la zona. El perfil de la zona se ha obtenido realizando una fotografía aérea y llevando después dicha fotografía sobre un geoplano cuadrado, donde la unidad de longitud es de 3000 metros.

Si cada guardia del parque puede cubrir como máximo una superficie de 8 km², averigua el número mínimo de vigilantes que son necesarios para llevar a cabo dicha vigilancia.

                                                                                                                    

 Solución

El número de puntos por los que pasan los lados es 8 y el número de puntos interiores es 16. Así, la superficie de la figura es:

S = 4+16-1= 19 unidades de superficie

Como la unidad de longitud es 3000 m, la unidad de superficie será 9·10⁶ m², de forma que la superficie del parque es:

19·9·10⁶ m² = 171·10⁶ m² = 171 km²

Si dividimos esta superficie entre los 8 km² que, como máximo, puede cubrir un vigilante, obtenemos que son necesarios 22 vigilantes como mínimo.

Optimización

En un triángulo isósceles de 18 cm de perímetro, ¿cuál debe ser la altura para que su superficie sea máxima?

En ese caso, ¿cuánto medirían los lados del triángulo?

Solución:

Consideramos el triángulo con la notación indicada en la figura.

Como el perímetro es 18 cm, sabemos que 2x + 2y = 18, lo que equivale a que x+y = 9. Luego y = 9 – x.

La función que queremos optimizar es su superficie, es decir, la función S = 2x·h/2 = x·h

Para dejar S en función de una sola variable, intentamos expresar x en función de la altura, para lo que utilizamos el teorema de Pitágoras:

x² + h² = y²; x² + h² = (9-x)²; x² + h² = 81 + x² – 18x;

h² – 81 = -18x; x= (81 – h²)/18

Así, ya podemos escribir la función de la forma siguiente:

Calculamos su derivada e igualamos a cero:

Así, la superficie del triángulo es máxima cuando su altura es:

En este caso, los lados del triángulo miden:

Luego, se observa que se trata de un triángulo equilátero, cuyos lados miden 6 cm.

Optimización

Se quiere cercar  un terreno rectangular con 60 m de valla de forma que la superficie encerrada sea máxima. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno?

Solución:

Sean x e y el largo y el ancho del terreno, respectivamente. 

Como la valla que se va a utilizar mide 60 m, dicha longitud ha de coincidir con el perímetro del terreno y, de esta forma, sabemos que se debe cumplir 2x + 2y = 60, lo que equivale a que x + y = 30.

Es decir, y = 30 – x.

El área del rectángulo, en este caso el terreno, es S = x·y.

Como esta superficie debe ser máxima, la función que vamos a optimizar es S(x) = x·(30 – x) = 30x – x².

Derivamos la función y la igualamos a cero:

S´(x) = 30 – 2x = 0; 30 = 2x; x = 15

Calculamos la segunda derivada de la función en x = 15:

S´(x) = - 2, para cualquier x

Por tanto, se cumple que S´(15) = 0 y S´´(15) < 0, lo que nos asegura que la función alcanza el máximo en x = 15. Y para este valor de x, se tiene que y = 30-15 = 15.

Luego el terreno de mayor superficie encerrada por la valla es un cuadrado de lado 15 m.

Actividad con dominós

Es fácil comprobar que la superficie de las siguientes figuras es la misma que la ocupada por diez dominós.

Sin embargo, ¿crees que podría cubrirse cada una de dichas figuras con diez dominós?

En la figura 1 está claro que sí puede hacerse, como se muestra a continuación:

Pero, en la figura 2 no es posible ya que, al intentar cubrir las esquinas, quedaría algún cuadradito aislado en cualquiera de los casos.

En efecto, en cada esquina se darían las tres posibilidades que aparecen en las siguientes figuras.

En la figura 3 queda aislado el cuadradito “a”, en la figura 4 quedan aislados el “b” y el “c” y en la figura 5 queda aislado el “d”.

Comprueba tú si, con los mencionados dominós, es posible cubrir esta otra figura que también tiene la misma superficie que las anteriores.

Solución

Está claro que si puede cubrirse con diez dominós, como se observa a continuación: