Problema 150

Calcula el área del polígono ABCD sabiendo que los segmentos OB y AB miden 20 cm y 10 cm, respectivamente, y que el ángulo BOC es de 80^o.

Solución:

Si llamamos R y r a los radios de las circunferencias grande y pequeña, respectivamente, resulta que R = 20 y r = 20 - 10 = 10 y, además, el área de la corona circular, coloreada en el azul más oscuro, es:

Como esta superficie corresponde a la corona completa, corresponde a un ángulo de amplitud 360⁰ y, por tanto, utilizando proporciones, mediante una regla de tres directa deducimos que el área del polígono ABCD es:

Problema 149

Si el diámetro de cada uno de los tres círculos mide 10 cm y, sabiendo que son tangentes dos  a dos, encuentra la superficie de la región encerrada por ellos, que aparece coloreada de negro en la figura.

Solución:

Si unimos mediante segmentos los centros de los círculos, obtenemos la figura siguiente:

En ella observamos que el triángulo que aparece es equilátero y cada uno de sus lados mide 10 cm, al coincidir con el doble del radio de cada círculo.

Calculamos el área de dicho triángulo, utilizando previamente el teorema de Pitágoras para calcular su altura:

Así, el área del triángulo es:

Por otro lado, el triángulo, al ser equilátero, determina en cada círculo un sector circular de 60º de amplitud. El área de cada uno de estos sectores es:

El área de la región buscada coincide con la del triángulo menos la de los tres sectores circulares iguales. Por tanto:

Problema 133

Calcula el área de la región coloreada de verde claro, sabiendo que el área de cada cuadradito es 4 cm².

¿Qué relación existe entre las superficies de las regiones de colores verde claro y verde oscuro?

Solución:

Como el área de cada cuadradito es 4cm², su lado mide 2 cm. Descomponemos la figura en las siguientes regiones:

El área de la región a es igual a la suma de las áreas de las regiones d y f. De la misma forma, el área de la región c es igual a la suma de las áreas de las regiones e y g.

Por tanto, el área de la figura coloreada de verde oscuro es la misma que la del rectángulo formado por 8 cuadraditos de 4 cm²; es decir, 32 cm².

El cuadrado grande está formado por 16 cuadraditos de 4 cm² cada uno, por lo que su superficie es de 16·4 = 64 cm².

Así, la región coloreada de verde claro tiene un área de:

 64 – 32 = 32 cm²

Por tanto, las áreas de las regiones de colores verde claro y verde oscuro son las dos iguales.

Problema 130

a)Si el área del cuadrado interior es 4 m² inferior al área de la región coloreada de azul, calcula el área del cuadrado mayor en función del área del cuadrado menor.

b)Si el lado del cuadrado mayor midiese 10 m más que el lado del cuadrado menor, ¿cuál sería el perímetro del cuadrado menor? 

Solución:

a)Si llamamos C al lado del cuadrado mayor y c al del cuadrado menor, tenemos que la superficie de la región coloreada de azul es  A = C² – c².

Sabemos que esta superficie es 4 m² mayor que la superficie del cuadrado menor; es decir, que C² – c² = c² + 4.

Luego C² = 2 c² + 4.

b)Si C es 10 m mayor que c, sustituyendo en la expresión obtenida en el apartado anterior, obtenemos que:

(c + 10)² = 2 c² + 4

Resolvemos esta ecuación:

Esta ecuación tiene dos soluciones posibles, c = 24  y c = -4.

Como c es la longitud del lado, solo tiene sentido la solución positiva, por lo que el lado del cuadrado menor mide 24 m.

Así, su perímetro es de 96 m.

Integral definida 5

Halla el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones f (x) = - x² + 4 y g (x) = 2·f(x).

Solución:

Buscamos los valores de x en los que se cortan dichas gráficas, para lo que igualamos sus expresiones:

f (x) = g (x); - x² + 4 = 2· (- x² + 4); x² =  4; x = 2 y x = - 2

Así, ambas funciones, cuyas gráficas son sendas parábolas, se cortan sólo en los puntos cuyas abscisas son los valores de x obtenidos. 

Por tanto, x = 2 y x = -2 son los límites de integración.

Para cualquier valor de x perteneciente al intervalo (-2,2) se cumple que f(x) < g(x), por lo que el área buscada es la integral definida de g(x) – f(x) = 2·f(x) – f(x) = f(x), con los límites de integración señalados anteriormente. Es decir:

Área

Sabiendo que la superficie del cuadrado es 144 m², halla el área de la región coloreada de verde.

Solución:

Como la superficie del cuadrado es 144 m², su lado mide 12 m.

En la mitad superior del cuadrado hay dos cuadrantes de un círculo de radio 12/2 = 6 m o, lo que es lo mismo, una región rosa cuya área equivale a la mitad de la de un círculo de radio 6 m.

La región coloreada en rosa en la mitad inferior del cuadrado está compuesta por un círculo de radio 12/4 = 3 m y por dos semicírculos de radio 3 m; es decir que la región rosa de la parte inferior tiene un área equivalente a la de dos círculos de radio 3 m.

La región verde tendrá como superficie la que se obtiene al restar a la del cuadrado las áreas mencionadas anteriormente. Es decir:

Por tanto:

Tronco de cono

Calcula el área del siguiente tronco de cono, en el que sus bases miden 12 cm y 6 cm de diámetro, respectivamente:

Solución:

La base mayor tiene como superficie:

La base menor tiene como superficie:

El área lateral es la de un trapecio mixtilíneo cuya altura es 9 cm y cuyas bases coinciden con las longitudes de las circunferencias de las bases del tronco de cono. Es decir, que sus bases miden:

Por tanto, el área del trapecio es: 

Así, el área del tronco de cono es:

A = A_B + A_b + A_T = 36 π + 9 π + 81 π = 126 π cm²

Área de un trapecio isósceles mixtilineo

Consideramos una corona circular y en ella un sector circular:

El polígono ABCD es un trapecio isósceles mixtilíneo ya que sus bases son curvas y sus otros lados son segmentos (que miden lo mismo por obtenerse a partir de la corona circular, donde ambas circunferencias son concéntricas).

Si llamamos R y r a los radios de las circunferencias grande y pequeña, respectivamente, el área de la corona es:

Si la amplitud del sector circular es n^o, resulta que el área del trapecio es:

Por otro lado, el arco de circunferencia BC mide:

Y el arco de circunferencia AD mide:

Si hacemos la semisuma (B_T + b_T)/2 obtenemos:

Y, si esta semisuma la multiplicamos por la longitud de AB, que coincide con(R – r), obtenemos:

Por tanto, al igual que en un trapecio rectilíneo, para calcular el área de este trapecio mixtilíneo se multiplica la semisuma de sus bases (arcos de circunferencias concéntricas) por su altura (diferencia de los radios de dichas circunferencias).