Problema 103

Sabiendo que el radio del semicírculo mayor mide 12 cm, halla el radio del círculo menor. 

Solución:

Consideramos el centro del círculo menor, O, y los centros de los semicírculos pequeños, M y N, y los unimos, obteniendo un triángulo isósceles, tal y como se muestra en la figura siguiente:

La base de dicho triángulo coincide con el diámetro de los semicírculos pequeños, es decir, mide 12 cm.

Si llamamos r al radio del círculo menor, la altura de dicho triángulo es 12 – r, pues el radio del semicírculo mayor mide 12 cm. Y cada uno de los lados iguales del triángulo mide r + 6, ya que el radio de los semicírculos pequeños mide 6 cm.

Utilizando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

(12 – r)² + 6² = (r + 6)²

144 + r² – 24 r + 36 = r² + 36 + 12 r

144 = 36 r

r = 144 / 36 = 4

Así, el radio del círculo menor mide 4 cm.

Áreas combinadas

Calcula el área de la figura coloreada.

Solución:

El área de la figura está compuesta por la de un cuadrante de un círculo de radio 2 cm, más la de un cuadrado de lado 4 cm, menos la de un triángulo isósceles de 2 cm de base y 2 cm de altura.

Así, el área de la figura coloreada es:

Triángulo isósceles

En un triángulo isósceles, sabemos que cada uno de los lados iguales mide 1 cm menos que el lado desigual.

Sabiendo que su perímetro es 16 cm, calcula la altura y el área del triángulo.

Solución:

Suponemos que cada una de las mitades en las que la altura divide al lado desigual es x. De esta forma, cada uno de los lados iguales es 2x–1.

Sabemos que el perímetro del triángulo es:

P = 2x + 2(2x – 1) = 6x – 2 = 16 cm

De esta expresión podemos despejar x = 3 cm.

Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

x² + h² = (2x – 1)²

3² + h² = 5²

h² = 25 – 9 = 16; h = 4 cm

Ya podemos calcular el área del triángulo:

Por tanto, la altura del triángulo mide 4 cm y su área 12 cm².

Optimización

En un triángulo isósceles de 18 cm de perímetro, ¿cuál debe ser la altura para que su superficie sea máxima?

En ese caso, ¿cuánto medirían los lados del triángulo?

Solución:

Consideramos el triángulo con la notación indicada en la figura.

Como el perímetro es 18 cm, sabemos que 2x + 2y = 18, lo que equivale a que x+y = 9. Luego y = 9 – x.

La función que queremos optimizar es su superficie, es decir, la función S = 2x·h/2 = x·h

Para dejar S en función de una sola variable, intentamos expresar x en función de la altura, para lo que utilizamos el teorema de Pitágoras:

x² + h² = y²; x² + h² = (9-x)²; x² + h² = 81 + x² – 18x;

h² – 81 = -18x; x= (81 – h²)/18

Así, ya podemos escribir la función de la forma siguiente:

Calculamos su derivada e igualamos a cero:

Así, la superficie del triángulo es máxima cuando su altura es:

En este caso, los lados del triángulo miden:

Luego, se observa que se trata de un triángulo equilátero, cuyos lados miden 6 cm.

Triángulos con papiroflexia

La papiroflexia es una actividad interesante, cuyos aspectos geométricos suelen ser olvidados, y que sin embargo, permite obtener demostraciones muy claras de muchas propiedades, facilitando de esta forma la comprensión de las simetrías, la consecución de algunos puntos notables y la obtención de propiedades geométricas. Aquí un ejemplo en el que encontraremos, utilizando la papiroflexia, un punto notable en un triángulo y una propiedad fundamental.

1. Sea un triángulo ABC, y se dobla por el vértice C, de modo que B quede sobre el lado AB, obteniéndose así la altura CN. Plegamos cada ángulo del triángulo de modo que los vértices A, B, C se junten en el punto N. Viendo esto, ¿cuánto vale la suma de los ángulos interiores del triángulo?

2. Recorta un triángulo de papel. Pliégalo por las bisectrices de los ángulos (haz coincidir los lados al plegarlo por cada vértice).

 Traza los pliegues con un lápiz. Observa que se cortan en un punto.

  ¿Cumple ese punto alguna propiedad respecto de su distancia a los lados del triángulo? Investiga el nombre del punto encontrado.

Solución:

1. La suma de los ángulos interiores del triángulo vale 180º, ya que al juntar los tres vértices en el punto N, como se indica en el siguiente dibujo, los tres forman un ángulo llano.

2. El punto conseguido es el incentro, y la propiedad que tiene es que su distancia a los tres lados es la misma.

Problema 51

Calcula el área del triángulo ABC.

Solución:

Para hacerlo, restaremos al área del cuadrado la superficie exterior al triángulo. Para ello, tendremos en cuenta que, según se observa en el dibujo, el área de cada cuadradito en los que se ha descompuesto el cuadrado grande es u² = 4·4 = 16 cm².

Para verlo de forma clara, nombramos los puntos siguientes en la figura:

Área del triángulo ACH = (2·4)/2 u² = 4 u² = 4·16 cm² = 64 cm²

Área del rectángulo EFGD = 4 u² = 4·16 cm² = 64 cm²

Área del triángulo BGC = (3·1)/2 u² = 1,5 u² =1,5·16 cm² = 24 cm²

Área del triángulo DBA = (3·1)/2 u² = 1,5 u² =1,5·16 cm² = 24 cm²

Así, el área del triángulo ABC es:

A = 16² – 2·64 – 2·24 = 256 -128 – 48 = 80 cm².

Triángulo mixtilíneo

Representa y halla el área del triángulo mixtilíneo cuyos vértices son los puntos A(0, 0), B(2, 1) y C(1, 4), sabiendo que el lado AC es recto, y que las líneas AB y BC son las curvas de ecuaciones respectivas:

Solución:

Como los vértices A y C están unidos por una recta, sabemos que esta tiene de ecuación y = mx + n, y al pasar por los puntos A y C verifica:

Por pasar por A:   0 = m · 0 + n , luego n = 0

Por pasar por C:   4 = m · 1 + n , luego m = 4

Así, la recta que pasa por A y C tiene de ecuación:  y = 4x

Dibujamos a continuación el recinto delimitado por estas tres funciones:

En el dibujo se observa:

Luego el área del recinto, expresada en unidades de superficie, es:

Problema 41

Calcula el área y el perímetro de la superficie B (de color lila).

Solución:

El triángulo compuesto por las superficies A y B tiene 6 unidades de base y 7 de altura, por lo que se deduce que su área es (6·7)/2= 21 unidades de superficie.

La superficie A puede descomponerse en dos rectángulos, uno de 2 por 4 unidades y otro de 3 por 1. Así, el área de A es 2·4 + 3·1 = 11 unidades de superficie.

Por tanto, el área de B es 21 – 11 = 10 unidades de superficie.

Para hallar su perímetro, la suma de las verticales y horizontales que la delimitan es 3+2+3+3+1+1 = 13 unidades de longitud. Y el segmento inclinado que completa su perímetro es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 6 y 7, por lo que su longitud es:

Así, el perímetro de B es:

problema 22

Si la base de un triángulo aumenta un 20% y la altura sobre dicha base disminuye un 20%, ¿qué le pasa al área de dicho triángulo?

Solución:

Si b y h son la base y la altura, respectivamente, del triángulo inicial, su área es:

Tras las modificaciones que se mencionan, el nuevo triángulo tendrá como base b´= b·1,2 y su altura será h´= h·0,8. De esta forma, su área es:

Es decir, su área disminuye un 4%.