Problema 123

“La edad de la mujer en el momento de contraer matrimonio no debe sobrepasar la mitad de la edad del hombre más siete años”.

Esta es, según un proverbio indio, una de las claves que contribuyen a la felicidad de una pareja.

Un caballero indio, que es ocho años mayor que su prometida, quiere saber cuál es el momento más propicio para hacerla su esposa. ¿Podemos ayudarle?

Solución:

En primer lugar establecemos las siguientes relaciones algebraicas:

x = edad de la prometida,  y  x + 8 = edad del caballero.

La relación que establece el proverbio que cuenta la anciana es:

Luego se deben de casar antes de que la mujer tenga 22 años, para reunir las condiciones del proverbio.

Región triangular

Determina un sistema de inecuaciones que tenga como conjunto de soluciones el interior y los lados del triángulo del plano, cuyos vértices sean los puntos (0, 0), (2, 3) y (3, 1).

Solución:

Llamando A, B y C a los puntos A (0, 0), B(2, 3) y C(3, 1), tenemos que los lados del triángulo son las rectas que pasan por cada par de puntos. Vamos a hallar las ecuaciones de dichas rectas.

Si r es la recta que pasa por A y B, sabemos que su ecuación es de la forma  y = m x + n, y sustituyendo las coordenadas de A y B en x e y, tenemos el sistema:

Así, la ecuación es r: 2x – 3y = 0.

Realizando el mismo proceso para los puntos A y C, obtenemos la recta s, y para B y C, la recta t.

Sus ecuaciones son: s: x – 3y = 0  y  t: y = - 2x + 7.

Representamos las tres rectas y nos dan el triángulo buscado.

Para ver la parte del plano que está por debajo de la recta s, sustituimos un punto, por ejemplo el (1, 1), y vemos qué condición resulta:

1 – 3 · 1 = - 2 < 0

Luego, para tener la parte del plano debajo de la recta s, incluyendo a los puntos de la recta que formarán parte del lado del triángulo, tomamos la condición x – 3y ≤ 0.

Realizando el mismo procedimiento con las otras dos rectas tenemos, como solución del problema, el siguiente sistema de inecuaciones:

Programación lineal