Problema 125

De cierto número sabemos que es 11 unidades menor que un cuadrado perfecto y que es 12 unidades mayor que otro cuadrado perfecto.

¿De qué número se trata?

Solución:

Sea N dicho número.

Sabemos que existen x e y, tales que:

N = x² – 11

N = y² + 12

Entonces, x² – 11 = y² + 12, lo que equivale a que x² – y² = 23.

Como x² – y² = (x + y)(x – y), teniendo en cuenta que 23 es primo, deducimos que:

x + y = 23

x – y = 1

Sumando ambas ecuaciones, resulta que 2 x = 24, de donde despejamos x = 12. Sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones, obtenemos que y = 11.

Por tanto, el número N es 12² – 11 = 144 – 11 = 133 (observamos que también 11² + 12 = 121 + 12 = 133).

Problema 46

Si n es un número natural tal que 2n+1 es un cuadrado perfecto, demuestra que el número n+1 se puede expresar como suma de los cuadrados de dos números consecutivos.

Solución: 

Como 2n+1 es un cuadrado perfecto existirá un número x tal que 2n+1 = x². Pero como 2n+1 es impar, también debe ser impar el número x. Luego existe algún número natural p tal que x=2p+1.

Entonces 2n+1 = (2p+1)². Y despejamos n en esta expresión:

2n+1 = 4p²+1+4p ⟺ 2n = 4p²+4p ⟺ n = 2p²+2p

Así,si sumamos 1 enlos dos miembros, obtenemos que:

n+1 = 2p²+2p+1 = p²+p²+2p+1 = p²+ (p+1)²

Es decir, que n+1 es la suma de los cuadrados de p y p+1, como se quería demostrar.

Problema 9

Un cuadrado perfecto tiene cuatro cifras. Las dos primeras son iguales entre si. Las dos últimas son iguales entre si. ¿De qué número se trata?

Solución:

Es de la forma aabb.

aabb = a·10³ + a·10² + b·10 + b = a ·1100 + b·11 = 11· (100 a + b)

Como aabb es cuadrado perfecto y  aabb = 11· (100 a + b). debe ocurrir que el número (100 a + b) sea el producto de 11 por un cuadrado perfecto.

Pero (100 a + b) = a0b, por lo que a0b debe ser producto de 11 por un cuadrado perfecto (y debemos tener en cuenta que tiene tres cifras y la segunda es 0).

4²·11= 16·11 = 176

5²·11= 25·11 = 275

6²·11= 36·11 = 396

7²·11= 49·11 = 539

8²·11= 64·11 = 704

9²·11= 81·11 = 891

Se observa que en el único caso que se cumple es en 8²·11= 64·11 = 704

Luego a0b = 704, es decir, a = 7 y b = 4. Además, 7744 = 88².

Así, el número buscado es 7744.