Halla las dimensiones que hacen mínimo el coste de
un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular, sabiendo que su
volumen ha de ser 9 m3, su altura 1 m y que el coste por m2
es de 50 € para la base, 60 € para la tapa y 40 € para cada pared lateral.
Solución:
Llamamos x, y, a las dimensiones de la base.
El
volumen del depósito es V = x·y·altura = xy = 9 m3, de donde se
deduce que y = 9/x
El
coste de la base será 50xy, el de la tapa 60xy, y el de las paredes laterales
40(2x + 2y).
Así,
la función que se quiere optimizar es:
C =
50xy + 60 xy + 40(2x + 2y) = 110xy + 80(x + y)
Pero,
para dejarla en función de una sola variable, utilizamos la expresión de y en
función de x:
Derivamos
e igualamos a cero para determinar posibles extremos relativos:
(Observamos
que la solución x= -3 no es factible al tratarse de la longitud de un lado).
Para
comprobar si se trata de un mínimo, calculamos la segunda derivada de la
función:
Así,
la función C alcanza un mínimo en x = 3, por lo que y = 3 también. Es decir,
que el coste es mínimo cuando la base del contenedor es un cuadrado de lado 3
m.
