Problema 160

En un instituto, al final de curso hay 98 alumnos que abandonan el centro y un número de profesores que se trasladan a otros institutos.

Averiguar cuál es el número de profesores trasladados sabiendo que:

-El número de alumnos que ese año pasan de curso es 8 veces el número de alumnos que abandonan el centro más las dos terceras partes del número de profesores trasladados.

-El número de profesores trasladados es ligeramente superior a la cien-ava parte de alumnos que pasan de curso.

Solución:

Si llamamos x al número de profesores trasladados, tenemos que el número de alumnos que pasan de curso es:

8·98 + (2·x / 3) = 784 + (2·x / 3)

Como el número de dichos alumnos ha de ser un número natural, deducimos que 2·x debe ser múltiplo de 3 y, por ello, x también es múltiplo de 3.

Además, según el enunciado del problema, también debe cumplirse lo siguiente:

x > [784 + (2·x / 3)] / 100

 

100·x > 784 + (2·x / 3)

300·x > 2352 + 2x

298·x > 2352

x > 7,892

Por tanto, x es ligeramente mayor que 7,892 y además es múltiplo de 3, luego x = 9.

Como conclusión, se trasladaron 9 profesores. 

Problema 120

En un garaje hay coches y motos, de forma que entre todos ellos no llegan a 25. Si contamos las ruedas de todos esos vehículos y dividimos el número obtenido entre 3,7 resulta, precisamente, el número total de vehículos.

Solución:

Si llamamos x al número de coches e y al de motos, tenemos que:

                    4 x + 2 y = 3,7 · (x + y)

4 x + 2 y = 3,7 x + 3,7 y

0,3 x = 1,7 y

Multiplicando los dos miembros de la igualdad anterior por 10, resulta que 3 x = 17 y.

Como x e y son números enteros y, además, 3 y 17 son primos entre sí, se deduce que x es múltiplo de 17 e y es múltiplo de 3.

Ya que el número total de vehículos no llega a 25, x = 17 pues cualquier otro múltiplo de 17 superaría esa cota de 25.

Entonces, el valor de y solo puede ser y = 3 o y = 6, por el mismo motivo.

Pero, si y = 6, el número de ruedas sería 17·4 + 6·2 = 80, que no es divisible por 3,7.

Por tanto, y = 3 ya que, en este caso, el número de ruedas sería 17·4 + 3·2 = 74 y 74:3,7 = 20, que coincide con el número total de vehículos (17 coches y 3 motos).

Problema 85

En un ayuntamiento se están imprimiendo unos trípticos para presentar una exposición de un artista local. Uno de los encargados de tal misión le pregunta a uno de sus ayudantes:”¿cuántos se imprimieron para la exposición anteior?”. 

Este le responde:”no sé cuántos exactamente, pero recuerdo que muy pocos más de 5000, y además recuerdo que si dividía el número entre cada uno de los naturales comprendidos entre 2 y 9, ambos incluidos, siempre me daba 1 el resto de la división”.

¿Cuánto trípticos habían imprimido para aquella exposición?

Solución:

Calculamos el mínimo común múltiplo de los números comprendidos entre el 2 y el 9:

m.c.m.(2,3,4,5,6,7,8,9)= 8·9·5·7 = 2520

Si x es el número de los trípticos impresos, para que el resto de todas las divisiones mencionadas sea 1, está claro que x-1 debe ser múltiplo de 2520.

Como x era muy cercano a 5000, debe ocurrir que x-1 sea el doble de 2520, es decir, 5040. 

De esta forma, se deduce que se imprimieron x = 5041 trípticos.

Sucesión de Fibonacci

Se llama sucesión de Fibonacci aquella cuyos términos vienen definidos mediante la expresión a_n = a_n-1 + a_n-2, considerando que a₀=0 y a₁=1.

Calculamos los 15 primeros términos de esta sucesión: 

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,  233,  377.

-Si sumas los diez primeros obtienes 88=11·8 = 11·séptimo sumando

-Si sumas desde el término 2º hasta el 11º obtienes 143 = 11·13 =    = 11·séptimo sumando

   

-Si sumas desde el término 3º hasta el 12º obtienes  231 = 11·21=    = 11·séptimo sumando

-Si sumas desde el término 4º hasta el 13º obtienes  374 = 11·34=    = 11·séptimo sumando

¿Se puede generalizar este hecho y afirmar que la suma de diez términos consecutivos cualesquiera de esta sucesión es un múltiplo de 11?

Solución:

Suponemos diez términos consecutivos cualesquiera de la sucesión; su suma es:

S = a_n + a_n+1 + a_n+2 + a_n+3 + a_n+4 + a_n+5 + a_n+6 + a_n+7 + a_n+8 + a_n+9

Utilizando la definición de la sucesión, podemos expresar cada uno de los diez términos en la forma siguiente:

a_n

a_n+1

a_n+2 = a_n + a_n+1

a_n+3 = a_n+1 + a_n+2 = a_n+1 + a_n + a_n+1 = a_n + 2a_n+1

a_n+4 = a_n+2 + a_n+3 = a_n + a_n+1 + a_n + 2a_n+1 = 2 a_n + 3a_n+1

a_n+5 = a_n+3 + a_n+4  = a_n + 2a_n+1 + 2 a_n + 3a_n+1 = 3 a_n + 5a_n+1

a_n+6 = a_n+4 + a_n+5  = 2 a_n + 3a_n+1 + 3 a_n + 5a_n+1 = 5 a_n + 8a_n+1

a_n+7 = a_n+5 + a_n+6  = 3 a_n + 5a_n+1 + 5 a_n + 8a_n+1 = 8 a_n + 13a_n+1

a_n+8 = a_n+6 + a_n+7  = 5 a_n + 8a_n+1 + 8 a_n + 13a_n+1 = 13 a_n + 21a_n+1

a_n+9 = a_n+7 + a_n+8  = 8 a_n + 13a_n+1 + 13 a_n + 21a_n+1 = 21 a_n + 34a_n+1

Utilizando estas expresiones, tenemos que:

S = a_n + a_n+1 + a_n + a_n+1 + a_n + 2a_n+1 + 2 a_n + 3a_n+1 + 3 a_n + 5a_n+1 + + 5 a_n + 8a_n+1 + 8 a_n + 13a_n+1 + 13 a_n + 21a_n+1 + 21 a_n + 34a_n+1 =

   = a_n·(1+1+1+2+3+5+8+13+21) + a_n+1·(1+1+2+3+5+8+13+21+34) =

      = 55a_n + 88a_n+1 = 11·(5a_n + 8a_n+1)

Queda demostrado. Por tanto, que dicha suma es múltiplo de 11.

Se observa, además, que el factor que se multiplica por 11 es a_n+6, tal y como se ve en las descomposiciones anteriores. Luego también queda demostrado que la suma es el producto de 11 por el término séptimo de la suma.

Problema 69

Con seis dígitos comprendidos entre el 1 y el 9 se ha formado un número de seis cifras abcdef que cumple las condiciones siguientes:

• Todas sus cifras son distintas.
  
• La suma de sus tres primeras cifras es 12.
• La suma de sus tres últimas cifras es 15.
• El número ab es múltiplo de 2, el bc es múltiplo de 3, el cd es múltiplo de 4, el de es múltiplo de 5 y el ef es múltiplo de 6.

¿De qué número se trata?

Solución:

Por ser múltiplo de 5, de debe terminar en 0 o en 5; pero como las cifras están entre 1 y 9, se tiene que e = 5.

Entonces, 5f es múltiplo de 6 y, como el único múltiplo de 6 de dos cifras que empieza por 5 es 54, se deduce que f = 4.

Como la suma de las tres últimas cifras ha de ser igual a 15, resulta que d = 6.

Ya sabemos que el número es abc654.

Teniendo en cuenta que c6 es múltiplo de 4, se distinguen dos posibilidades: c = 1 o c = 3.

- Si c = 1, como b1 es divisible por 3, necesariamente ha de cumplirse que b = 2. Y como la suma de las tres primeras cifras es 12, se deduce que a = 9. En este caso, ya tendríamos el número completo, que es el 921654.

- Si c = 3, como b3 es múltiplo de 3, resulta que b3 = 33 o b3 = 63 o b3 = 93. Los dos primeros casos no son posibles ya que no pueden repetirse cifras y, por tanto, debería ser b = 9. Pero como la suma de las tres primeras cifras ha de ser igual a 12, debería cumplirse que a = 0, lo cual tampoco es posible.

Por tanto, el único número que cumple todas las condiciones dadas es el 921654.

Problema 59

Encuentra un número capicúa de seis cifras, sabiendo que cumple las condiciones siguientes:

-Es múltiplo de 8.

-El producto de todas sus cifras es 44100.

Solución:

Si tiene seis cifras y es capicúa, será de la forma abccba.

El producto de sus cifras es a·b·c·c·b·a = 

= a²·b²·c² = (a·b·c)².

Por tanto, sabemos que (a·b·c)² = 44100 = 210² y, entonces, se cumple que a·b·c = 210 = 2·3·5·7. Como a, b y c son números de una cifra, necesariamente uno de ellos ha de ser 6, otro 5 y el que queda 7.

Como el número de seis cifras es múltiplo de 8, debe ser par. Así, ha de terminar en 6 (ya que 5 y 7 son impares) y esto hace necesario que a =6.

De esta forma, solo quedan dos opciones posibles: que el número sea el 657756 o el 675576. Pero es fácil comprobar que el primero de ellos no es divisible por 8 mientras que sí lo es el segundo.

Así, el número buscado es el 675576.

Problema 54

Luis está contando los cromos que tiene cuyo número es muy cercano a cien. Observa que si le regala uno a su hermano el número de cromos que le quedarían sería múltiplo de 8, pero que si es su hermano el que le regala un cromo a él, tendría un número de cromos múltiplo de 7. ¿Cuántos cromos tiene?

Solución:

Si llamamos x al número de cromos, x-1 es múltiplo de 8 y x+1 es múltiplo de 7.

Los múltiplos de 8 más cercanos a 100 son 96 y 104.

Si x-1 = 96, entonces x+1 = 98, que es múltiplo de 7.

Si x-1 = 104, entonces x+1 = 106, que no es múltiplo de 7.

Así, la opción posible es que x-1 sea 96, de donde se deduce que el número de cromos que tiene Luis es x = 97.

Problema 50

Un pequeño comerciante ha gastado 200 € al comprar piezas de miniaturas de 2 €, 8 € y 24 €. Si ha comprado en total 40 piezas, ¿cuántas son de cada precio?

Solución:

Sean a, b y c las piezas de 2€, 8€ y 24€, respectivamente.

Sabemos que a + b + c = 40. Y teniendo en cuenta que ha gastado 200 €, también podemos asegurar que 2a + 8b + 24c = 200.

Así, tenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

a + b + c = 40

2a + 8b + 24c = 200

Si multiplicamos por -2 la primera ecuación y después sumamos las dos ecuaciones obtenemos que 6b + 22c = 120. Despejamos b:

Como b y c son números naturales, 60 – 11c debe ser múltiplo de 3 y, como 60 es múltiplo de 3, también debe serlo 11c. Pero esto solo ocurre cuando c es 3.

Y en ese caso, sustituyendo en la expresión anterior de b, se deduce que b es 9. Como el total de piezas es 40, concluimos que a es 28.

Así, ha comprado 28, 9 y 3 piezas de 2€, 8€ y 24€, respectivamente.

Determinantes

Problema 7

Para una actividad con alumnos de 1º de ESO en un instituto, hay que organizarlos en pequeños equipos. El número de alumnos de este nivel está comprendido entre 100 y 120. Si se les agrupa de 5 en 5, sobran dos; si se les agrupa de 2 en 2, sobra uno; pero si se les agrupa de 3 en 3 no sobra ninguno. ¿Cuántos son los alumnos?

Solución:

El número ha de tener tres cifras y la primera es el 1. Un múltiplo de 5 acaba en 5 o 0, y como si se agrupan de cinco en cinco sobran dos, se deduce que el número ha de terminar en 7 o 2.

Pero, si terminase en 2, sería par y al agrupar los participantes de 2 en 2 no sobraría ninguno. Por tanto, el número debe terminar en 7. Ya tenemos que ha de ser de la forma  1a7.

Como debe ser múltiplo de 3, sus cifras han de sumar un múltiplo de 3. Para que eso ocurra, a debe valer 1 (1+1+7=9), 4 (1+4+7=12) o 7 (1+7+7=15). Pero sólo en el primero de estos casos el número está comprendido entre 100 y 120.

Así, hay 117 alumnos de 1º de ESO.

Problema 4

¿Cuántos números de siete cifras son múltiplos de 388 y  terminan en 388?

Solución:

Buscamos cuantos números de la forma abcd388 son múltiplos de 388. Esto equivale a buscar los números de la forma abcd000 + 388 que son múltiplos de 388. Y se reduce a encontrar cuantos de la forma abcd · 10³ son múltiplos de 388.

Para que abcd · 10³ sea múltiplo de 388, como 388 = 4 · 97 y 10³ es múltiplo de 4,  el problema se reduce  a encontrar los números de cuatro cifras múltiplos de 97.

El menor es 97·11 y el mayor es 97·103. Por tanto hay 93 números que lo cumplen.

Es decir, hay 93 números de siete cifras que son múltiplos de 388 y acaban en 388.