Progresión de cuadrados inscritos.

En un cuadrado (1) de lado a cualquiera, formamos otro cuadrado (2) uniendo los puntos medios de los lados del cuadrado inicial. Repetimos el proceso en el nuevo cuadrado obteniendo el cuadrado 3 y, así sucesivamente. El resultado se ve en la figura siguiente:

Demuestra que, si llamamos S1 a la superficie del cuadrado 1, S2 a la del cuadrado 2, y así sucesivamente, la sucesión S1, S2, S3,… es una progresión geométrica.

Solución:

Si consideramos solamente los cuadrados 1 y 2, tenemos la figura siguiente:

El área del cuadrado 1 es S1 = a².

Además, la diagonal del cuadrado 2 mide lo mismo que el lado del cuadrado 1, por lo que, si llamamos x al lado del cuadrado 2 y aplicamos el teorema de Pitágoras, se cumple que:

Pero x² es precisamente S2 y, de esta forma, ya hemos demostrado que S2 = (1/2)·S1.

El proceso sería análogo si se repitiera con el cuadrado 2 y el 3, con el 3 y el 4, y así sucesivamente. Luego, se cumple que:

Sn = (1/2)·S_n-1

De esta forma, se ha probado que S1, S2, S3,… Sn, es una progresión geométrica de razón 1/2.

Diferencia de áreas.

Sabiendo que el lado del cuadrado de color amarillo mide 8 cm, calcula el área de la región coloreada de verde.

Solución:

Si  el lado del cuadrado amarillo mide 8 cm, aplicando el teorema de Pitágoras, podemos calcular su diagonal, que coincide con el diámetro del círculo.

Además, la diagonal del cuadrado verde mide lo mismo que el lado del cuadrado amarillo, por lo que también podemos calcular la longitud de su lado. Si llamamos x al lado del cuadrado verde, se cumple que:

El área de la región verde es:

A = A _círculo – A _{cuadrado amarillo} + A _{cuadrado verde}

Por tanto:

Progresión de círculos y cuadrados,

Si consideramos un círculo de radio r cualquiera, inscribimos en él un cuadrado, en éste inscribimos otro círculo y en este círculo otro cuadrado y, así sucesivamente, obtenemos la figura siguiente.

Demuestra que si llamamos S₁ al área de las regiones marcadas con el número 1, S₂ al  área de las marcadas con el número 2, S₃ a la de las marcadas con el 3, y así sucesivamente, se cumple que la sucesión S₁, S₂, S₃,…… es una progresión geométrica.

Solución:

En el enlace que aparece al final de la solución del problema, se puede ver que, en efecto, se cumple: 

Por tanto, S₂ = (1/2)· S₁.

Repitiendo el mismo proceso, se obtiene que S₃ = (1/2)· S₂ y, sucesivamente, que S_n = (1/2)· S_n-1.

Así, la sucesión S₁, S₂, S₃,…… es una progresión geométrica de razón 1/2.

Aquí está el enlace mencionado:

http://miblogssiempremaths.blogspot.com.es/2015/06/circulos-y-cuadrados-inscritos.html

Círculos y cuadrados inscritos.

Demuestra que la superficie de las regiones marcadas con la letra a en la figura siguiente, es el doble de la superficie de las marcadas con la letra b.

Solución:

Llamamos r al radio del círculo exterior.

El radio del círculo mayor es r, por lo que la diagonal del cuadrado mayor, inscrito en dicho círculo, es 2r. Utilizamos el teorema de Pitágoras llamando l al lado de este cuadrado:

l² + l² = (2 r)²; 2 l² = 4 r²; l² = 2 r²

El área del círculo mayor menos el área del cuadrado mayor será la superficie de las regiones marcadas con la letra a. Por tanto, dicha superficie es:

El lado del cuadrado mayor coincide con el diámetro del círculo menor, de lo que podemos deducir el radio de éste:

De esta forma, podemos calcular la superficie de este círculo:

Como el diámetro del círculo menor coincide con la diagonal del cuadrado menor, podemos utilizar de nuevo el teorema de Pitágoras, llamando l´ al lado de dicho cuadrado, y calcular su área:

Así, como el área del círculo menor menos el área del cuadrado menor es la superficie de las regiones marcadas con la letra b, dicha superficie es:

Por tanto, queda probado que la superficie de las regiones marcadas con la letra a es el doble de la superficie de las marcadas con la letra b.

Cuadrados y círculos.

Halla el área de las regiones coloreadas de azul sabiendo que el perímetro exterior de la figura es 16 cm.

Solución:

Como el perímetro es 16 cm, el lado del cuadrado mayor mide 4 cm y el radio del círculo mayor 2 cm.

La zona azul comprendida entre ellos tendrá una superficie igual a la de dicho cuadrado menos la del círculo. Es decir:

El cuadrado inscrito en el círculo anterior tiene una diagonal de 4 cm (al coincidir con su diámetro) y podemos hallar la medida de sus lados utilizando el teorema de Pitágoras:

Así, tenemos calculado el lado de dicho cuadrado que, además, coincide con el diámetro del círculo menor de la figura. Es decir:

La zona azul comprendida entre ellos tendrá una superficie igual a la de dicho cuadrado menos la del círculo. Es decir:

Por tanto, el área de todas las regiones coloreadas de azul es:

Área de un hexágono

David y Adrián encuentran en un libro de geometría el siguiente hexágono, en el que se indica que cada uno de los cuadraditos de la cuadrícula de fondo tiene una superficie de 1 cm².

Observando el dibujo, David afirma que la superficie del hexágono es  80 cm². Sin embargo, Adrián dice no estar de acuerdo con él y le hace el siguiente razonamiento:

Como puedes observar, el lado AF mide 6 centímetros y, por tanto, el perímetro es 36 centímetros. Además la apotema, OP, mide 5 centímetros. Así pues, utilizando la fórmula para el área, se calcula que la superficie del hexágono es:

David, aunque sigue convencido de que la superficie del hexágono es de 80 centímetros cuadrados, piensa que el razonamiento hecho por su amigo parece lógico. Pero entonces se pregunta el porqué de esa diferencia de superficie.

¿Quién de los dos está en lo cierto?

¿En qué falla el razonamiento del que se ha equivocado al dar la solución?

Solución:

David es el que tiene razón, ya que por simetrías se deduce en el dibujo que la superficie del hexágono es la misma que la de un rectángulo de base 8 centímetros y de  altura 10 centímetros.

En efecto, se ve claro que si se corta el hexágono por la vertical que pasa por F y D, y por la horizontal que pasa por B y E obtenemos, en la parte derecha de la figura, dos triángulos rectángulos cuyas hipotenusas son los segmentos DE y EF. Si nos llevamos estos triángulos a la izquierda de la figura de forma que coincidan DE con BA y EF con CB, tenemos el mencionado rectángulo.

El hecho de que la apotema, OP, y el segmento OB tengan la misma longitud hace que el hexágono no sea regular. Y en este hecho es en el que estriba el fallo del razonamiento de Adrián, pues la expresión que utiliza en el cálculo de la superficie es válida sólo para polígonos regulares.

Problema 107

La siguiente figura está formada por un triángulo equilátero, un rectángulo y un cuadrado, los tres con el mismo perímetro.

Si el área del cuadrado es 144 cm², calcula el área de la figura completa.

Solución:

Como el área del cuadrado es 144 cm², sabemos que su lado mide 12 cm y, por tanto, su perímetro es 48 cm.

Como el triángulo es equilátero y su perímetro es igual al del cuadrado, resulta que cada lado del triángulo mide 16 cm.

La base del rectángulo coincide con el lado del triángulo y, si llamamos x a su altura, como su perímetro también es 48 cm, podemos deducir que 32 + 2x = 48, de donde obtenemos que x = 8 cm.

El área de la figura es la suma de las áreas de los tres polígonos.

Área del cuadrado = 144 cm²

Área del rectángulo = 16 · 8 = 128 cm²

Para calcular el área del triángulo debemos hallar su altura, para lo que utilizamos el teorema de Pitágoras:

Ya podemos calcular el área del triángulo:

Así, el área de la figura completa es:

Problema 106

Sabiendo que en A y en C hay ángulos rectos, calcula la superficie del cuadrilátero siguiente:

Solución:

Si unimos los vértices B y D, se obtienen dos triángulos que son rectángulos:

El área del triángulo ABD es, claramente, S = 11·9/2 = 99/2  cm².

Si consideramos el otro triángulo, BCD, apoyado sobre el lado CD, se ve fácilmente que su área es S´= 13·5/2 = 65/2  cm².

Así, el área del cuadrilátero, suma de ambas áreas, es:

S + S´= (99 + 65)/2 = 82 cm²

Problema 105

Si el área de la región coloreada de lila es 408 cm², halla el área de la región coloreada de verde en la siguiente figura.

Solución:

Llamamos x e y a las dimensiones del rectángulo de color amarillo.

La superficie coloreada de lila es el área del rectángulo de lados 24 cm y 18 cm, menos el área del rectángulo amarillo. Es decir, 24·18 – x·y = 408.

De dicha expresión, podemos despejar x·y = 432 – 408 = 24 cm^2.

El área de la región coloreada de verde es la superficie del rectángulo de lados 20 cm y 16 cm, menos el área del rectángulo amarillo. Es decir, 20·16 – 24 = 320 – 24 = 296 cm².

Combinación de superficies

Calcula el área de la figura coloreada de blanco, en función del lado del cuadrado.

Solución:

Si llamamos x al lado del cuadrado, su área es x².

Consideramos la figura con las siguientes divisiones:

En la mitad inferior de la figura, se muestran dos cuadrantes de un círculo de radio x/2, coloreados en rosa. La suma de sus áreas es:

En la mitad superior de la figura, la región coloreada de rosa tiene la misma superficie que la coloreada de blanco. Ambas coinciden con la mitad de la superficie de un rectángulo de base x y altura x/2. Es decir, la superficie en rosa de dicha parte, es:

Concluimos que el área de la figura coloreada en blanco es:

Áreas combinadas

Calcula el área de la figura coloreada.

Solución:

El área de la figura está compuesta por la de un cuadrante de un círculo de radio 2 cm, más la de un cuadrado de lado 4 cm, menos la de un triángulo isósceles de 2 cm de base y 2 cm de altura.

Así, el área de la figura coloreada es:

Combinación de áreas

Calcula la superficie de la figura siguiente, sabiendo que su altura es  15 cm y que los diámetros de las semicircunferencias miden 12 cm y 8 cm, respectivamente.

Solución:

Si la altura total de la figura es 15 cm, como los radios de las semicircunferencias miden 6 cm y 4 cm, la altura del trapecio mide 15 – 6 – 4 = 5 cm.

Las bases del trapecio coinciden con los diámetros de las semicircunferencias.

Por tanto, tenemos que:

Así, el área de la figura es: