El rendimiento físico (evaluado
en una escala de 0 a 100) de un deportista durante una prueba de 15 minutos de
duración queda bien descrito a través de la función:
R(t)=
a t²+ b t + c con 0 ≤ t ≤ 15 (a ≠ 0)
Sabiendo que alcanza el máximo
rendimiento de 100 a los 10 minutos y que finaliza la prueba con un rendimiento
de 75, calcula, justificando la
respuesta, los coeficientes a, b y c.
Solución:
Si alcanza un máximo en t = 10, se verifica que R´ (10)
= 0.
Si ese máximo rendimiento es de 100, se cumple que R
(10) = 100.
Como la prueba la ha terminado con un rendimiento de
75, se cumple que R (15) = 75.
Estas tres condiciones se traducen en las ecuaciones
siguientes:
R´(10) = 2·a·10 + b = 0; es decir, 20a + b= 0
R (10) = a·102 + b·10 + c = 100; es
decir, 100a + 10b + c = 100
R (15) = a·152 + b·15 + c = 75; es decir,
225a + 15b + c = 75
De la primera ecuación se despeja b = - 20a y
sustituimos esta expresión en las otras dos ecuaciones, obteniendo el sistema:
100a – 200a + c = 100; - 100a + c = 100
225a – 300a + c = 75; - 75a + c = 75
Restando ambas ecuaciones, se deduce que 25a = - 25
y, por tanto, a = -1. A partir de
este valor, se calculan con facilidad los valores b = 20 y c = 0.
