Los enteros mayores que 1 son números metálicos.
Se llaman números metálicos a las soluciones positivas de las ecuaciones polinómicas de la forma x2 – px – q =0, en las que p y q son enteros positivos.
Se llaman números metálicos a las soluciones positivas de las ecuaciones polinómicas de la forma x2 – px – q =0, en las que p y q son enteros positivos.
El
número metálico correspondiente a la ecuación x2 – px – q =0 se
designa por σp,q, aunque algunos de ellos tienen un nombre propio.
Si dedicamos un rato a
resolver estas ecuaciones para distintos valores de p y considerando q = 1,
obtenemos la tabla siguiente:
Si
resolvemos ahora estas ecuaciones para distintos valores de q y considerando p
= 1, obtenemos la tabla siguiente:
Si
fijamos p=1 y consideramos unos valores particulares de q, obtenemos también
unos valores particulares de números metálicos (son enteros). Obsérvalo en la
tabla siguiente:
Esta
tabla parece indicarnos que cualquier entero mayor que 1 es un número metálico
de la forma σ1,q. Pero, ¿podemos demostrarlo?
Sea
n un entero mayor que 1 cualquiera. Si n = σ1,q es porque n es la
solución positiva de la ecuación x2 – x – q =0; es decir:
Despejamos
q:
Por
tanto, cualquier entero n, mayor que 1, es un número metálico de la forma σ1,q. Concretamente, se cumple
que:
Este resultado es un caso particular pues se
refiere al caso en que p=1.Pero, ¿podría generalizarse para cualquier valor de
p entero positivo?
Supongamos
que σp,q = n, siendo n un entero positivo:
Como p y q son enteros positivos, esta
condición implica la necesidad de que n sea mayor que p(es decir, n ha de ser
mayor o igual a 2).
Así, este resultado se puede resumir en la
siguiente propiedad.
Si
p y n son enteros tales que n > p ≥ 1, se cumple que:
El caso particular de esta propiedad para p=1
es n = σ1,n(n-1),que habíamos demostrado anteriormente.
Los números
metálicos de la forma σ p, p+1 son enteros y, más específicamente, se
verifica que σ p, p+1 = p+1 para cualquier entero positivo p.
Es fácil comprobar que σ1,2 = 2,
que σ2,3 = 3 o que σ3,4 = 4. Estos valores incitan a
pensar en una posible generalización. Vamos a ello:
Consideramos la siguiente ecuación, con p entero positivo.
La solución positiva de dicha ecuación es:
Por tanto, acabamos de demostrar que para
cualquier entero positivo p se cumple que:
σ p,
p+1 = p+1
