miércoles, 7 de octubre de 2015

Representación gráfica de un número irracional.

No todos los números irracionales pueden ser representados gráficamente de forma exacta, en cuyo caso se realiza su representación aproximada teniendo en cuenta sus aproximaciones por defecto y por exceso, que al ser racionales si tienen una representación gráfica exacta.

Sin embargo, algunos irracionales como los que vienen dados por raíces cuadradas de números naturales, pueden representarse gráficamente de forma exacta utilizando una regla y un compás.

Para hacerlo nos basamos en dos teoremas:

Teorema 1: el de Pitágoras.


Teorema 2: todo número natural puede expresarse como suma de cuatro cuadrados de números naturales como máximo.


El 2 podemos descomponerlo como la suma de cuadrados 2 = 12 + 12, de donde se deduce que:

De esta forma, consideramos dos segmentos perpendiculares de longitud 1 y formamos el triángulo rectángulo cuya hipotenusa coincidirá con nuestro irracional. Si  nos llevamos esa medida con el compás a la recta, tendremos su representación gráfica, tal y como se muestra en la imagen:



El 6 podemos descomponerlo como 6 = 22 + 12 + 12, de donde deducimos que:

Si consideramos los dos primeros sumandos, como 22 + 12 = 5, observamos el dibujo siguiente:


Con el compás, nos traemos la hipotenusa anterior a la recta y consideramos entonces el tercer sumando, y formamos el triángulo cuya hipotenusa coincide con el número que queríamos representar. La llevamos a la recta y habremos terminado el proceso, tal y como se muestra en el dibujo siguiente:


Es fácil observar que, para representar un número por este procedimiento, tendremos que utilizar el teorema de Pitágoras como máximo en tres ocasiones.

Si el número que queremos representar es negativo, procedemos de la misma forma que si fuese positivo y, una vez representado el número positivo, lo trasladamos con el compás al eje negativo de la recta real.

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