No todos los números
irracionales pueden ser representados gráficamente de forma exacta, en cuyo
caso se realiza su representación aproximada teniendo en cuenta sus
aproximaciones por defecto y por exceso, que al ser racionales si tienen una
representación gráfica exacta.
Sin embargo, algunos
irracionales como los que vienen dados por raíces cuadradas de números
naturales, pueden representarse gráficamente de forma exacta utilizando una
regla y un compás.
Para hacerlo nos
basamos en dos teoremas:
Teorema 1: el de Pitágoras.
Teorema 2: todo número natural puede expresarse como suma de cuatro
cuadrados de números naturales como máximo.
El 2 podemos
descomponerlo como la suma de cuadrados 2 = 12 + 12, de
donde se deduce que:
De esta forma,
consideramos dos segmentos perpendiculares de longitud 1 y formamos el
triángulo rectángulo cuya hipotenusa coincidirá con nuestro irracional. Si nos llevamos esa medida con el compás a la
recta, tendremos su representación gráfica, tal y como se muestra en la imagen:
El 6 podemos
descomponerlo como 6 = 22 + 12 + 12, de donde
deducimos que:
Si consideramos los dos
primeros sumandos, como 22 + 12 = 5, observamos el dibujo
siguiente:
Con el compás, nos
traemos la hipotenusa anterior a la recta y consideramos entonces el tercer
sumando, y formamos el triángulo cuya hipotenusa coincide con el número que
queríamos representar. La llevamos a la recta y habremos terminado el proceso,
tal y como se muestra en el dibujo siguiente:
Es
fácil observar que, para representar un número por este procedimiento,
tendremos que utilizar el teorema de Pitágoras como máximo en tres ocasiones.
Si el número que queremos representar es negativo, procedemos
de la misma forma que si fuese positivo y, una vez representado el número
positivo, lo trasladamos con el compás al eje negativo de la recta real.
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