Problemas resueltos de integral definida.

Integral definida 5

Halla el área de la región comprendida entre las gráficas de las funciones f (x) = - x² + 4 y g (x) = 2·f(x).

Solución:

Buscamos los valores de x en los que se cortan dichas gráficas, para lo que igualamos sus expresiones:

f (x) = g (x); - x² + 4 = 2· (- x² + 4); x² =  4; x = 2 y x = - 2

Así, ambas funciones, cuyas gráficas son sendas parábolas, se cortan sólo en los puntos cuyas abscisas son los valores de x obtenidos. 

Por tanto, x = 2 y x = -2 son los límites de integración.

Para cualquier valor de x perteneciente al intervalo (-2,2) se cumple que f(x) < g(x), por lo que el área buscada es la integral definida de g(x) – f(x) = 2·f(x) – f(x) = f(x), con los límites de integración señalados anteriormente. Es decir:

Integral definida 4

Encuentra el área limitada por la parábola y = x² + 4 y sus rectas tangentes en los puntos x = - 1 y x = 1.

Solución:

Las rectas tangentes a la parábola de ecuación y = x² + 4 en los puntos x = - 1 y x = 1 son las siguientes:

Haciendo la representación gráfica de la parábola y sus tangentes tenemos:

Así, el área podemos calcularla mediante la expresión:

Pero, como podemos ver en la gráfica, el recinto encerrado por la parábola y sus tangentes es simétrico respecto del eje Y, por lo que podemos calcular el área del recinto que está la derecha del eje Y, y el área del recinto total será el doble que la hallada, es decir: 

Realizando esta integral tenemos:

Luego el área buscada, expresada en unidades de superficie, es:

Integral definida 3

Determina el valor positivo de a, si sabemos que la superficie comprendida entre la recta y + x = 0  y la parábola y = x² + a x es 36.

Solución:

En primer lugar igualamos la expresión de las dos funciones para determinar sus puntos de corte:

Luego, x = 0 ó x = - (a + 1).

Como a > 0, se cumple que – (a + 1) < 0. Si consideramos un valor de x comprendido en el intervalo (-(a + 1), 0), por ejemplo x = -a, el valor correspondiente de y es y = a en la recta e y = 0 en la parábola, lo que indica que en dicho intervalo la recta queda por encima de la parábola.

Por tanto, la superficie encerrada por la recta y la parábola es:

Igualando la expresión obtenida a 36, obtenemos:

Integral definida 2

Determina la constante positiva a, sabiendo que la figura plana limitada por la parábola y = 3 a x² + 2 x, la recta y = 0 y las rectas x = 0  y  x = a, tiene de área (a² – 1)²_.

Solución:

La región de la que conocemos el área es la de la figura siguiente:

El área de la región la hallamos mediante la siguiente integral:

Como esta región tiene por área (a² – 1)², deducimos que:

Como la constante a debe ser positiva, según el enunciado del problema, el valor buscado es: 

Integral definida

El polinomio P(x) = x² + A x + B verifica que se anula para x = 2. Halla A y B, sabiendo que se cumple

Solución:

Como P(x) se anula para x = 2, cumple que P (2) = 0, luego:

P (2) = 4 + 2 A + B = 0

Además, tenemos lo siguiente:

Con las dos ecuaciones obtenidas formamos el siguiente sistema:

Resolviendo el sistema, obtenemos que los valores de A y B son:

A = - 46/9  y B = 56/9