Problema 146

Encuentra el valor de la suma de los coeficientes del polinomio que resulta al operar y simplificar en la expresión siguiente:

(2 – 4x + 4x⁶)⁸ · (1 + 5x² – 5x⁸)²⁸

Solución:

La resolución del problema estriba en darse cuenta de que la suma de los coeficientes de un polinomio coincide con el valor numérico del polinomio en x = 1.

Así, en este caso, la suma de coeficientes buscada es:

(2 – 4·1 + 4·1⁶)⁸ · (1 + 5·1² – 5·1⁸)²⁸ =

= (2 – 4 + 4)⁸ · (1 + 5 – 5)²⁸ =

= 2⁸ · 1²⁸ = 2⁸ = 256

Optimización

El rendimiento físico (evaluado en una escala de 0 a 100) de un deportista durante una prueba de 15 minutos de duración queda bien descrito a través de la función:

R(t)= a t²+ b t + c    con   0 ≤ t ≤ 15     (a ≠ 0)

Sabiendo que alcanza el máximo rendimiento de 100 a los 10 minutos y que finaliza la prueba con un rendimiento de 75, calcula, justificando la respuesta, los coeficientes a, b y c.

Solución:

Si alcanza un máximo en t = 10, se verifica que R´ (10) = 0.

Si ese máximo rendimiento es de 100, se cumple que R (10) = 100.

Como la prueba la ha terminado con un rendimiento de 75, se cumple que R (15) = 75.

Estas tres condiciones se traducen en las ecuaciones siguientes:

R´(10) = 2·a·10 + b = 0; es decir, 20a + b= 0

R (10) = a·10² + b·10 + c = 100; es decir, 100a + 10b + c = 100

R (15) = a·15² + b·15 + c = 75; es decir, 225a + 15b + c = 75

De la primera ecuación se despeja b = - 20a y sustituimos esta expresión en las otras dos ecuaciones, obteniendo el sistema:

100a – 200a + c = 100; - 100a + c = 100

225a – 300a + c = 75; - 75a + c = 75

Restando ambas ecuaciones, se deduce que 25a = - 25 y, por tanto,   a = -1. A partir de este valor, se calculan con facilidad los valores b = 20 y c = 0.