Círculos y cuadrados inscritos.

Demuestra que la superficie de las regiones marcadas con la letra a en la figura siguiente, es el doble de la superficie de las marcadas con la letra b.

Solución:

Llamamos r al radio del círculo exterior.

El radio del círculo mayor es r, por lo que la diagonal del cuadrado mayor, inscrito en dicho círculo, es 2r. Utilizamos el teorema de Pitágoras llamando l al lado de este cuadrado:

l² + l² = (2 r)²; 2 l² = 4 r²; l² = 2 r²

El área del círculo mayor menos el área del cuadrado mayor será la superficie de las regiones marcadas con la letra a. Por tanto, dicha superficie es:

El lado del cuadrado mayor coincide con el diámetro del círculo menor, de lo que podemos deducir el radio de éste:

De esta forma, podemos calcular la superficie de este círculo:

Como el diámetro del círculo menor coincide con la diagonal del cuadrado menor, podemos utilizar de nuevo el teorema de Pitágoras, llamando l´ al lado de dicho cuadrado, y calcular su área:

Así, como el área del círculo menor menos el área del cuadrado menor es la superficie de las regiones marcadas con la letra b, dicha superficie es:

Por tanto, queda probado que la superficie de las regiones marcadas con la letra a es el doble de la superficie de las marcadas con la letra b.

Problema 38

Se dibuja un cuadrado y, uniendo los puntos medios de sus lados, se dibuja otro cuadrado más pequeño. Se inscribe una circunferencia en el cuadrado menor, que es tangente a él en los puntos medios de sus lados, tal y como muestra la figura.

Si el área del cuadrado mayor es 50 cm ², ¿cuál es la superficie del círculo?

Solución:

Si trazamos las diagonales del cuadrado pequeño, el cuadrado mayor queda dividido en 8 triángulos iguales, cuatro de los cuales forman el cuadrado menor.

De esta forma, el área de este último es la mitad de 50 cm ², es decir, 25 cm ².

Por tanto, su lado mide 5 cm y coincide con el diámetro de la circunferencia. 

Así, la superficie del círculo es:

Optimización

De entre todos los rectángulos inscritos en una circunferencia de radio 10 cm, calcula las dimensiones del que tenga área máxima.

Solución:

Si x e y son los lados del rectángulo, como su diagonal coincide con el diámetro de la circunferencia, se obtiene la relación siguiente, aplicando el teorema de Pitágoras.

El área de un rectángulo es base x altura, por lo que la función a optimizar es:

Derivamos e igualamos a cero la primera derivada de A, y resolvemos la ecuación que se obtiene:

Como x es un lado del rectángulo, no se puede tomar el valor x=0 ni el valor negativo de la raíz. Se comprueba que la segunda derivada de A es negativa en 

  

Así, se obtiene finalmente que el área es máxima cuando se trata de un cuadrado cuyo lado es:

Problema 11

Un círculo cuyo radio mide 1 cm está inscrito en un cuadrado, y éste a su vez está inscrito en otro círculo, como se muestra en la figura. ¿Cuántos centímetros mide el radio de éste último círculo? 

Solución:

Del centro de los círculos trazamos segmentos a los puntos de tangencia del círculo menor con el cuadrado:

De esta forma, el cuadrado quedará dividido en cuatro cuadrados de lado 1 cm, y el radio del círculo mayor (marcado en rojo en la figura) será igual a la diagonal de cualquiera de ellos.

Usando el teorema de Pitágoras deducimos que dicho radio mide