Área de un hexágono

David y Adrián encuentran en un libro de geometría el siguiente hexágono, en el que se indica que cada uno de los cuadraditos de la cuadrícula de fondo tiene una superficie de 1 cm².

Observando el dibujo, David afirma que la superficie del hexágono es  80 cm². Sin embargo, Adrián dice no estar de acuerdo con él y le hace el siguiente razonamiento:

Como puedes observar, el lado AF mide 6 centímetros y, por tanto, el perímetro es 36 centímetros. Además la apotema, OP, mide 5 centímetros. Así pues, utilizando la fórmula para el área, se calcula que la superficie del hexágono es:

David, aunque sigue convencido de que la superficie del hexágono es de 80 centímetros cuadrados, piensa que el razonamiento hecho por su amigo parece lógico. Pero entonces se pregunta el porqué de esa diferencia de superficie.

¿Quién de los dos está en lo cierto?

¿En qué falla el razonamiento del que se ha equivocado al dar la solución?

Solución:

David es el que tiene razón, ya que por simetrías se deduce en el dibujo que la superficie del hexágono es la misma que la de un rectángulo de base 8 centímetros y de  altura 10 centímetros.

En efecto, se ve claro que si se corta el hexágono por la vertical que pasa por F y D, y por la horizontal que pasa por B y E obtenemos, en la parte derecha de la figura, dos triángulos rectángulos cuyas hipotenusas son los segmentos DE y EF. Si nos llevamos estos triángulos a la izquierda de la figura de forma que coincidan DE con BA y EF con CB, tenemos el mencionado rectángulo.

El hecho de que la apotema, OP, y el segmento OB tengan la misma longitud hace que el hexágono no sea regular. Y en este hecho es en el que estriba el fallo del razonamiento de Adrián, pues la expresión que utiliza en el cálculo de la superficie es válida sólo para polígonos regulares.

Optimización

Calcula el área máxima que puede tener un triángulo rectángulo tal que la suma de las longitudes de sus dos catetos vale 4 cm.

Solución:   

Llamamos x = 1^ercateto (base)
         y = 2º cateto (altura)

Se cumple que x + y = 4 y,  por tanto, y = 4 – x

La función área que hay que optimizar es: 

La derivada de dicha función es A´(x) = 2 - x

Igualamos a cero dicha derivada para calcular los posibles máximos o mínimos:

A´(x) = 0 ⇒2 - x = 0 ⇒ x = 2 posible máximo ó mínimo de la función.

Hallamos la 2ª derivada: A´´(x) = - 1

Sustituimos el posible máx. ó mín. en dicha derivada:

A´´(2) = - 1 < 0 , luego es máximo

 x = 2; y = 4 – 2 = 2 ⇒los dos catetos son iguales a 2 cm.

A(2) = 4 – 4/2 = 4 – 2 = 2, y así, el área máxima que puede tener el triángulo rectángulo es de 2 cm²

Problema 27

En las aceras de una calle cuya anchura es de 20 m, hay dos árboles situados uno frente a otro (uno en cada acera)y en la copa de cada uno de ellos hay una paloma. Ambos animales observan a la vez una miga de pan situada en el suelo, entre los dos árboles, y se lanzan a cogerla, con la misma velocidad de vuelo, llegando al mismo tiempo. Si un árbol mide 8m de altura y el otro 12m, ¿a qué distancia del tronco del árbol más bajo se encontraba la miga de pan?

Solución:

Si x es la distancia que queremos calcular, la figura que se obtiene con los datos del problema es la siguiente:

Como ambas palomas tardan el mismo tiempo en llegar al pan y vuelan a la misma velocidad, ambas recorren el mismo espacio. De ello deducimos que las hipotenusas de los dos triángulos rectángulos de la figura miden lo mismo. Es decir:

Simplificamos: 40x = 400 + 144 – 64 = 480

Así, despejamos x = 12 m, que es la solución del problema.

Triángulo rectángulo

En un triángulo rectángulo se cumple que uno de sus ángulos agudos mide 22º más que el otro. Halla los tres ángulos del triángulo.

Solución:

Como en cualquier triángulo, la suma de sus tres ángulos es 180º. Por ser rectángulo, uno de ellos mide 90º.

Sean x y x + 22 los otros ángulos. Se obtiene que x + x + 22 = 90.

Es decir, 2x = 90 - 22 = 68, por lo que x = 68/2 = 34.

Así, los tres ángulos miden 90º, 34º y 56º, respectivamente.

Problema 20

Calcula el área de la superficie sin colorear en el cuadrado de la siguiente figura:

Solución:

Si al área de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2 cm le restamos la de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 cm, obtendremos el  área de la superficie coloreada.

Superficie coloreada = [(2 ·2)/2] – [(1·1)/2]= 2 – 1/2= 3/2 cm²

El área que buscamos se obtiene restando esta superficie coloreada a la del cuadrado que mide 4 cm de lado:

Superficie sin colorear = 4² – 3/2= 16 – 3/2= 29/2 cm² = 14,5 cm²