Problema 69

Con seis dígitos comprendidos entre el 1 y el 9 se ha formado un número de seis cifras abcdef que cumple las condiciones siguientes:

• Todas sus cifras son distintas.
  
• La suma de sus tres primeras cifras es 12.
• La suma de sus tres últimas cifras es 15.
• El número ab es múltiplo de 2, el bc es múltiplo de 3, el cd es múltiplo de 4, el de es múltiplo de 5 y el ef es múltiplo de 6.

¿De qué número se trata?

Solución:

Por ser múltiplo de 5, de debe terminar en 0 o en 5; pero como las cifras están entre 1 y 9, se tiene que e = 5.

Entonces, 5f es múltiplo de 6 y, como el único múltiplo de 6 de dos cifras que empieza por 5 es 54, se deduce que f = 4.

Como la suma de las tres últimas cifras ha de ser igual a 15, resulta que d = 6.

Ya sabemos que el número es abc654.

Teniendo en cuenta que c6 es múltiplo de 4, se distinguen dos posibilidades: c = 1 o c = 3.

- Si c = 1, como b1 es divisible por 3, necesariamente ha de cumplirse que b = 2. Y como la suma de las tres primeras cifras es 12, se deduce que a = 9. En este caso, ya tendríamos el número completo, que es el 921654.

- Si c = 3, como b3 es múltiplo de 3, resulta que b3 = 33 o b3 = 63 o b3 = 93. Los dos primeros casos no son posibles ya que no pueden repetirse cifras y, por tanto, debería ser b = 9. Pero como la suma de las tres primeras cifras ha de ser igual a 12, debería cumplirse que a = 0, lo cual tampoco es posible.

Por tanto, el único número que cumple todas las condiciones dadas es el 921654.