División de polinomios.

División de un polinomio entre un número real.

Para dividir un polinomio P (x) entre un número real m se divide cada uno de los coeficientes de P (x) entre m.

Es decir, si P (x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + … + a_n xⁿ, se tiene que:

P (x): m = (a₀ /m) + (a₁ /m) x + (a₂ /m) x² + … + (a_n /m) xⁿ

Ejemplos:

a) (5 – 15 x + 25 x³ – 45 x⁵):(- 5) = - 1 + 3 x - 5 x³ + 9 x⁵

b) (3 + 12 x² + 7 x³ – 42 x⁴):3 = 1 + 4 x² + (7/3) x³ – 14 x⁴

División de dos monomios.

Para dividir entre sí dos monomios tenemos que dividir sus coeficientes y su variable, teniendo en cuenta las propiedades de las potencias. Es decir:

(a xⁿ):(b x^m) = (a/b) x^{n – m}

Ejemplos:

a) 8 x⁵ : 2 x² = (8/2) x^{5 – 2} = 4 x³

b) - 14 x⁷ : 2 x³ = (- 14/2) x^{7 – 3} = - 7 x⁴

c) 12 x⁶ : 15 x⁴ = (12/15) x^{6 – 4} = (4/5) x²

División de dos polinomios.

Para ver los sucesivos pasos que deben realizarse en la división de dos polinomios, nos apoyaremos en un ejemplo.

Vamos a dividir el polinomio 12 x⁵ + 12 x⁴ – 33 x² + 10 – 50 x entre 3 x² + 3 – 9 x.

Paso 1: ordenamos ambos polinomios de mayor a menor grado, teniendo en cuenta que, si no existe el término de algún grado intermedio en el dividendo, pondremos cero en el lugar correspondiente.

Paso 2: dividimos el monomio de mayor grado del dividendo entre el monomio de mayor grado del divisor (12 x⁵ : 3 x² = 4 x³) y colocamos el resultado en el cociente.

Paso 3: multiplicamos este monomio del cociente por cada monomio del divisor y colocamos los resultados cambiados de signo bajo cada monomio del mismo grado del dividendo y los sumamos con el dividendo.

Paso 4: Repetimos el mismo proceso (48 x⁴ : 3 x² = 16 x²), añadiendo el resultado al cociente, volviendo a multiplicarlo por cada monomio del divisor y sumando los resultados cambiados de signo.

Paso 5: Repetimos el mismo proceso (132 x³ : 3 x² = 44 x), añadiendo el resultado al cociente, volviendo a multiplicarlo por cada monomio del divisor y sumando los resultados cambiados de signo.

Paso 6: Repetimos el mismo proceso (315 x² : 3 x² = 105), añadiendo el resultado al cociente, volviendo a multiplicarlo por cada monomio del divisor y sumando los resultados cambiados de signo.

Aquí habríamos terminado la división, ya que el grado de 763 x es menor que el grado de 3 x².

Por tanto, la división ha resultado tener como cociente el polinomio 4 x³ + 16 x² + 44 x + 105 y como resto 763 x -305.

División de radicales.

A la hora de dividir dos radicales tenemos que distinguir los mismos casos que en el producto.

Caso 1: si los dos radicales tienen el mismo índice, el resultado de la división es otro radical del mismo índice y cuyo radicando se obtiene dividiendo los radicandos de los radicales que estamos operando. Es decir:

En efecto, para demostrar la expresión anterior es suficiente tener en cuenta las propiedades de las potencias:

Ejemplos:

Caso 2: si los radicales que vamos a dividir tienen índices distintos, los reducimos previamente a índice común y, posteriormente, dividimos como en el caso 1.

Ejemplo:

Queremos efectuar la siguiente división:

El mínimo común múltiplo de los índices es 15, por lo que reducimos los dos radicales a índice 15:

Y ahora, dividiendo como en el caso 1, obtenemos el siguiente resultado:

División y raíz cuadrada en notación científica.

Para dividir dos números expresados en notación científica, utilizaremos la siguiente propiedad de las fracciones:

Esta propiedad nos permite dividir, por un lado, las potencias de 10 de los dos números que vamos a dividir y, por otro, los números decimales que acompañan a dichas potencias. Hecho esto, solamente tendremos que asegurarnos de que el resultado esté expresado en notación científica.

Ejemplo:

Vamos a efectuar la división (8,107 · 10³) : (6,7 · 10¹³).

Por tanto, (8,107 · 10³) : (6,7 · 10¹³) = 1,21 · 10^{- 10}

Para calcular la raíz cuadrada de un número expresado en notación científica, utilizamos la siguiente propiedad de las raíces:

Esta propiedad nos permite calcular la raíz cuadrada, por un lado, de la potencia de 10 y, por otro, del número decimal que acompaña a dicha potencia. Pero, para poder calcular la raíz cuadrada de la potencia de 10 con facilidad, previamente transformamos el número para que dicha potencia tenga exponente par, en caso de que no fuese así de principio.

Ejemplo:

Vamos a calcular la raíz cuadrada de 2,809 · 10¹⁵.

Observamos que el exponente de la potencia de 10 es impar, por lo que transformamos el número para conseguir un exponente par. Podemos hacerlo de la forma siguiente:

2,809 · 10¹⁵ = 28,09 · 10¹⁵  : 10 = 28,09 · 10¹⁴

Hecho esto, aplicamos la propiedad mencionada:

Así, tenemos que:

Problema 85

En un ayuntamiento se están imprimiendo unos trípticos para presentar una exposición de un artista local. Uno de los encargados de tal misión le pregunta a uno de sus ayudantes:”¿cuántos se imprimieron para la exposición anteior?”. 

Este le responde:”no sé cuántos exactamente, pero recuerdo que muy pocos más de 5000, y además recuerdo que si dividía el número entre cada uno de los naturales comprendidos entre 2 y 9, ambos incluidos, siempre me daba 1 el resto de la división”.

¿Cuánto trípticos habían imprimido para aquella exposición?

Solución:

Calculamos el mínimo común múltiplo de los números comprendidos entre el 2 y el 9:

m.c.m.(2,3,4,5,6,7,8,9)= 8·9·5·7 = 2520

Si x es el número de los trípticos impresos, para que el resto de todas las divisiones mencionadas sea 1, está claro que x-1 debe ser múltiplo de 2520.

Como x era muy cercano a 5000, debe ocurrir que x-1 sea el doble de 2520, es decir, 5040. 

De esta forma, se deduce que se imprimieron x = 5041 trípticos.

División con cambios

En una división, el cociente es 17 y el resto 11. Si el divisor aumenta en dos unidades, el cociente disminuye en dos unidades y el resto es 5. Calcula el dividendo y el divisor de la división inicial.

Solución: 

Sean x el dividendo e y el divisor.

Aplicando la prueba de la división deducimos que x = 17 y + 11.

Si el divisor aumenta en dos unidades (y + 2), el cociente disminuye en dos unidades (17 – 2 = 15) y el resto es 5.

Con el mismo razonamiento, se obtiene que x= 15 (y + 2) + 5.

Así, se plantea el sistema de ecuaciones siguiente:

Entonces, x = 17·12 + 11 = 215.

Luego, en la división inicial, el dividendo es 215 y el divisor es 12.