Trigonometría I.

Teoría y ejercicios resueltos de Trigonometría.

Polinomios.

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Definición y clasificación de polinomios.

Valor numérico de un polinomio.

Suma y resta de polinomios.

Multiplicación de polinomios.

División de polinomios.

Ejercicios resueltos de polinomios.

Radicales.

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Definición de un radical y sus propiedades.

Producto de radicales.

División de radicales.

Potencia y raíz de un radical.

Suma de radicales.

Racionalización.

Ejercicios resueltos de radicales.

Números irracionales.

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Introducción a los números irracionales.

Aproximación de un número irracional.

Representación gráfica de un número irracional.

Logaritmos.

Definición de logaritmos y propiedades.

Ejercicios resueltos de logaritmos.

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado.

1.Resuelve la siguiente ecuación:

5·(4 x – 6) + 7 x – 7·(x + 12) = - 3 x + 1

Solución:

Utilizando la propiedad distributiva, quitamos los paréntesis:

20 x – 30 + 7 x – 7x – 84 = - 3 x + 1

Simplificamos en los dos miembros de la ecuación:

20 x – 114 = - 3 x + 1

Utilizamos, para terminar, las transformaciones de equivalencia:

20 x – 114 + 3 x = - 3 x + 1 + 3 x

23 x – 114 =  1

23 x – 114 + 114 =  1 + 114

23 x = 115

23 x·(1/23) = 115·(1/23)

x = 115/23 = 5

Así, la solución de la ecuación es x = 5.

2.Resuelve la siguiente ecuación:

12 x – 6 + 2·(3x – 7) + 6 x = 4·(- 2 x + 3)

Solución:

Utilizando la propiedad distributiva, quitamos los paréntesis:

12 x – 6 + 6 x – 14 + 6 x = - 8 x + 12

Simplificamos en los dos miembros de la ecuación:

24 x – 20 = - 8 x + 12

Utilizamos, para terminar, las transformaciones de equivalencia:

24 x – 20 + 8 x = - 8 x + 12 + 8 x

32 x – 20 =  12

32 x – 20 + 20 =  12 + 20

32 x = 32

32 x·(1/32) = 32·(1/32)

x = 32/32 = 1

Así, la solución de la ecuación es x = 1.

3.Resuelve la siguiente ecuación:

Solución:

El mínimo común múltiplo de los denominadores es 30, por lo que reducimos todos los términos de la ecuación a denominador común  igual a 30.

Multiplicando todos los términos por 30 y simplificando desaparecen los denominadores, y obtenemos la siguiente ecuación equivalente a la inicial:

30·7 x + 10·(x – 2) + 30·6 = 6·3 x – 5·13

Resolvemos esta ecuación:

210 x + 10 x – 20 + 180 = 18 x – 65

220 x + 160 = 18 x – 65

220 x + 160 – 18 x = 18 x – 65 – 18x

202 x + 160 = – 65

202 x + 160 – 160 = – 65 – 160

202 x = - 225

Así, la solución de la ecuación es: x = - 225/202

4.Resuelve la siguiente ecuación:

Solución:

El mínimo común múltiplo de los denominadores es 24, por lo que reducimos todos los términos de la ecuación a denominador común  igual a 24.

Multiplicando todos los términos por 24 y simplificando desaparecen los denominadores, y obtenemos la siguiente ecuación equivalente a la inicial:

6·7 x + 8·5 + 24·6 x = 3·5 x – 24·9

Resolvemos esta ecuación:

42 x + 40 + 144 x = 15 x – 216

186 x + 40 = 15 x – 216

186 x + 40 – 15 x = 15 x – 216 – 15x

171 x + 40 = – 216

171 x + 40 – 40 = – 216 – 40

171 x = - 256

Así, la solución de la ecuación es: x = - 256/171

5.Encuentra el valor de a para que la solución de la ecuación siguiente sea x = 2.

3·(2 x + 1) + 9 – 7·(x + a) = 4  x + 8 a

Solución:

Utilizando la propiedad distributiva, quitamos los paréntesis:

6 x + 3 + 9 – 7x – 7 a = 4 x + 8 a

Simplificamos en los dos miembros de la ecuación:

- x + 12 – 7 a = 4 x + 8 a

Utilizamos, para terminar, las transformaciones de equivalencia:

- x + 12 – 7 a - 4 x = 4 x + 8 a - 4 x

- 5 x + 12 – 7 a =  8 a

- 5 x + 12 – 7 a – 12 + 7 a =  8 a – 12 + 7 a

- 5 x = 15 a - 12

- 5 x·(-1/5) = (15 a – 12) ·(-1/5)

x = (- 15 a + 12)/5

Para que la solución sea x = 2, debe cumplirse la expresión siguiente:

2 = (- 15 a + 12)/5

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por 5, se tiene que:

10 = - 15 a + 12

Utilizando de nuevo las transformaciones de equivalencia, despejamos el valor de a:

10 + 15 a – 10 = - 15 a + 12 + 15 a – 10

15 a = 2

15 a ·1/15 = 2 ·1/15

a = 2/15

Por tanto, para que la solución de la ecuación dada sea x = 2, el valor que debe tomar a es 2/15.

Ecuaciones bicuadradas.

Se llama ecuación bicuadrada a la que es de cuarto grado pero no tiene términos de grado impar. Por tanto, tendrá términos de grado cuatro, de grado dos y términos independientes.

Mediante las transformaciones de equivalencia, podemos expresar cualquier ecuación bicuadrada en la forma a x⁴ + b x² + c = 0, siendo a distinto de cero. 

Para resolver estas ecuaciones utilizamos un cambio de variable, que consiste en hacer t = x². Ello supone que t² = x⁴, y que la ecuación bicuadrada se transforma en la ecuación de segundo grado siguiente:

 a t² + b t + c = 0

Resolvemos esta última con la fórmula general:

Así encontramos los valores de t que son solución de la ecuación de segundo grado.

Y entonces hay que deshacer el cambio de variable para encontrar las soluciones de la ecuación bicuadrada. Teniendo en cuenta que t = x², es fácil comprender que los valores de x serán las raíces cuadradas de los valores de t.

Por tanto, por cada solución de la ecuación de segundo grado existirán dos soluciones de la bicuadrada (la raíz cuadrada positiva y la negativa).

Ejemplo:

Resolvamos la ecuación x⁴ – 13 x² + 36 = 0.

Si llamamos t = x², la ecuación anterior se transforma en la de segundo grado siguiente, que resolvemos:

t² – 13 t + 36 = 0

De esta forma, sus soluciones son:

Al deshacer el cambio de variable, hemos de calcular las raíces cuadradas de t₁ = 9 y de t₂ = 4, obteniendo que las soluciones de la ecuación bicuadrada inicial son:

x₁ = 3, x₂ = - 3, x₃ = 2, x₄ = - 2

Ejercicios resueltos de ecuaciones bicuadradas.

Ecuaciones de primer grado y de segundo grado, con una incógnita.

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Definición de ecuación y tipos de ecuaciones.

Ecuaciones de primer grado.

Ecuaciones de segundo grado.

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado.

Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado.

Problemas resueltos con ecuaciones de primer y segundo grado.

Ecuaciones de segundo grado.

Utilizando las transformaciones de equivalencia mencionadas anteriormente en la resolución de ecuaciones lineales, cualquier ecuación de segundo grado la podemos transformar en una equivalente que tenga la forma a x² + b x + c = 0, siendo a distinto de cero.

Las soluciones de una ecuación de la forma  a x² + b x + c = 0, se obtienen mediante la fórmula siguiente:

Demostración:

Tenemos que  a x² + b x + c = 0 y queremos encontrar los valores de x que cumplen la ecuación (sus soluciones).

Multiplicamos los dos miembros de la ecuación por 4a:

(a x² + b x + c)· 4a = 0· 4a

4 a² x² + 4 a b x + 4 a c = 0

Sumamos b² a los dos miembros:

4 a² x² + 4 a b x + 4 a c + b² = b²

Restamos 4ac a los dos miembros y, entonces tenemos un cuadrado perfecto en el miembro izquierdo:

4 a² x² + 4 a b x + 4 a c + b² – 4 a c = b² – 4 a c

4 a² x² + 4 a b x + b² = b² – 4 a c

(2 a x)² + 4 a b x + b² = b² – 4 a c

(2 a x + b)² = b² – 4 a c

Eliminamos el cuadrado de la izquierda extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros:

Finalmente, despejamos x:

Ejemplo:

Resolvamos la ecuación 3 x² – 3 x - 18 = 0.

Observamos que a = 3, b = - 3 y c = - 18.

Sustituimos estos valores en la fórmula anterior:

Así, las dos soluciones de esta ecuación son x₁ = (3 + 15)/6 = 3 y x₂ = (3 - 15)/6 = - 2.

La utilización de esta fórmula es la forma general de resolver cualquier ecuación de segundo grado. Sin embargo, algunas de las ecuaciones pueden resolverse sin necesidad de utilizarla. Es el caso de las que se llaman incompletas, aquellas en las que alguno de los coeficientes b o c es nulo.

Veamos cómo actuar en estos casos.

Si b = 0, la ecuación es de la forma a x² + c = 0. Y basta con despejar la incógnita para resolver la ecuación:

a x² = - c

x² = - c/a

Y las soluciones de la ecuación serían:

Si c = 0, la ecuación es de la forma a x² + b x = 0. En este caso, extraemos la incógnita como factor común:

x·(a x + b) = 0

Para que el producto de dos números sea nulo, alguno de ellos ha de serlo también. Por tanto, o bien es x = 0, o es a x + b = 0.

De aquí podemos deducir que las soluciones de la ecuación son x₁ = 0 y x₂ = - b/a.

Ejemplos:

a) Resolvamos 5 x² – 80 = 0.

En este caso, basta con despejar la incógnita:

5 x² – 80 = 0

5 x² – 80 + 80 = 0 + 80

5 x² = 80

 x² = 80/5 = 16

La soluciones de la ecuación son las raíces cuadradas de 16; es decir, x₁ = 4 y x₂ = - 4.

b) Resolvamos 8 x² + 72 x = 0.

Ahora extraemos la incógnita como factor común:

x·(8 x + 72) = 0

Las opciones posibles son x = 0, o bien 8 x + 72 = 0. Por tanto, las soluciones de la ecuación son x₁ = 0 y x₂ = - 72/8 = - 9.

Número de soluciones de una ecuación de segundo grado.

Se llama discriminante de una ecuación de segundo grado, de la forma  a x² + b x + c = 0, al valor de la expresión b² – 4 a c.

Si nos fijamos en la fórmula general de resolución de estas ecuaciones, observamos que el valor del discriminante determinará el número de soluciones de la ecuación. 

En efecto, si el discriminante es cero, las soluciones de la ecuación serán:

Se ve claramente que ambas son iguales y se dice que la ecuación tiene una solución doble.

Si el discriminante es negativo, no existe la raíz cuadrada de dicho valor en el conjunto de los números reales. Por tanto, la ecuación no tiene solución en el conjunto de los reales.

Si el discriminante es positivo, como en los reales existe siempre la raíz cuadrada de un número positivo, la ecuación tendrá dos soluciones reales distintas que son las siguientes:

Ecuaciones de primer grado.

Cualquier ecuación lineal o de primer grado con una incógnita se puede transformar hasta obtener una equivalente de la forma:

a x + b = 0  ,  siendo  a distinto de 0

Las transformaciones que se hacen en la ecuación inicial para obtener una expresión de este tipo  se basan en las siguientes reglas:

-  Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma expresión algebraica, las soluciones de la ecuación no varían.

-  Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica por un número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

(Recuerda que el primer miembro es el situado a la izquierda del signo =, y el segundo miembro es el situado a su derecha).

Estas transformaciones de equivalencia se utilizan para resolver ecuaciones.

Así, la solución de una ecuación del tipo a x + b = 0 con a distinto de 0 es x = - b/a.

En efecto:

a x + b = 0 ;  a x + b - b = 0 - b ; a x = - b

Como a no es 0, a·x· (1/a)  = - b · (1/a), y por tanto, x = - b/a.

Ejemplo:

Resolvamos la ecuación 7x - 3 = 5x + 4.

Sumamos - 5x a los dos miembros y simplificamos:

7x - 3 - 5x = 5x + 4 - 5x 

  2x - 3 = 4

Sumamos 3 a los dos miembros y simplificamos:

2x - 3 + 3 = 4 + 3 

 2x = 7

Multiplicamos por 1/2 los dos miembros y simplificamos: 

2 · x · 1/2 = 7 · 1/2  

 x = 7/2

El proceso seguido anteriormente es el método algebraico de resolución de ecuaciones lineales. Pero también es posible resolver este tipo de ecuaciones gráficamente.

Para ello, dada la ecuación a x + b = 0, consideramos la función      y = a x + b, que es una función lineal cuya representación gráfica es una recta. La intersección de esta recta con el eje de abscisas nos da el punto en el cual la ordenada y  toma el valor cero. El valor de la abscisa x de dicho punto es la solución de la ecuación.

Ejemplo:

Si queremos resolver gráficamente la ecuación x-3 =0, consideramos la función y = x -3, y utilizando una tabla de valores la representamos en los ejes cartesianos.

La gráfica correspondiente es la siguiente:

En su gráfica se observa que el punto de intersección de la recta con el eje de abscisas es (3, 0); así, la solución de la ecuación es x = 3.

A veces, las ecuaciones contienen términos con denominadores. En estos casos, para conseguir ecuaciones equivalentes sin ellos, reducimos todos los términos a denominador común (que será el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación). Y, una vez hecho esto, multiplicamos los dos miembros de la ecuación por dicho mínimo común múltiplo, y ya podremos resolverla como en los casos vistos anteriormente.

Ejemplo:

Resolvamos la ecuación siguiente:

Como el mínimo común múltiplo de 2, 4 y 3 es 12, reducimos todos los términos a denominador 12:

Si ahora multiplicamos los dos miembros de la ecuación por 12, se simplifica y desaparecen todos los denominadores, por lo que la ecuación es equivalente a la siguiente:

Es decir:

Y mediante las transformaciones de equivalencia, la podemos reducir de la forma siguiente:

Así, la solución de la ecuación es x = 21/10.