Problema 102

Un grupo de amigos se reúnen en una cafetería. Cada uno de ellos toma un café y, el 40% del grupo, toma además un pastel.

Si han pagado 32 euros en total, cada café cuesta 1,10 €  y cada pastel 2,40 €, ¿qué propina han dejado como mínimo al camarero?

Solución:

Sea x el número de amigos que componen el grupo.

Habrán tomado x cafés, cuyo importe asciende a 1,10· x euros.

Habrán tomado 0,4·x pasteles, cuyo importe será 0,40·x·2,40 euros.

El importe de lo que han tomado es, por tanto:

(1,10 + 0,96)·x = 2,06·x euros

Este importe debe ser menor o igual que la cantidad pagada y, de esta forma, tenemos que:

Así, el importe de lo que han tomado es máximo cuando x = 15 y supone 2,06·15 = 30,90 euros.

Luego, como mínimo, han dejado 32 – 30,90 = 1,10 euros de propina.

Optimización

Descomponer el número 45 en dos sumandos tales que la suma del doble del cuadrado del primero más siete veces el cuadrado del segundo, sea mínima.

Solución:

Si x es el primer sumando, el otro será 45-x.

La función que queremos minimizar es:

S(x) = 2x²+7(45-x)² = 2x²+14175+7x²–630x = 9x²–630x+14175

Igualamos la derivada  cero y obtenemos la ecuación de segundo grado 18x-630=0, cuya solución es 35.

Como la segunda derivada de la función suma es S´´(x)= 18, se tiene que S´´(35)>0. Así, si x=35, la suma mencionada es mínima.

Luego, para que la suma sea mínima, el número 45 hay que descomponerlo en los sumandos 35 y 10.