Problema 153

Luisa tiene una bolsa con 695 caramelos. De ellos, 132 son de limón, 224 son de fresa, 108 de naranja, 107 de menta y 124 de coco. Cada tarde extrae cuatro caramelos al azar y, si son del mismo sabor se los come. En caso contrario, los devuelve a la bolsa.

Pasado cierto tiempo, en la bolsa solo quedan 3 caramelos. ¿De qué sabor son?

Solución:

Se habrá comido totalmente los de los sabores cuyo número sea múltiplo de 4. Vemos cuáles son:

132 = 33·4

224 = 56·4

108 = 27·4

107 = 26·4 + 3

124 = 31·4

Observamos que son todos múltiplos de cuatro excepto el 107.

Así, quedan en la bolsa tres caramelos de menta.

Problema 147

Si multiplicas los treinta primeros números naturales, ¿cuántos ceros tiene al final el resultado de dicho producto?

 

Solución:

En el resultado del producto, cada cero al final corresponderá a un factor 10. 

Pero 10 = 2·5 y, por ello, tendrá al final tantos ceros como factores iguales a 5 aparezcan en el producto (pues el número de factores iguales a 2 es superior).

Entre los 30 primeros números naturales, los múltiplos de 5 son {5, 10, 15, 20, 25 y 30}. El número de factores iguales a 5 en cada uno de ellos, aparece en la tabla siguiente:

Múltiplos de 5	5	10	15	20	25	30
Factores iguales a 5 en cada uno de ellos	1	1	1	1	2	1

Así, tenemos 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 7.

Por tanto, el producto indicado acabará en siete ceros.