Diferencia de áreas.

Sabiendo que el lado del cuadrado de color amarillo mide 8 cm, calcula el área de la región coloreada de verde.

Solución:

Si  el lado del cuadrado amarillo mide 8 cm, aplicando el teorema de Pitágoras, podemos calcular su diagonal, que coincide con el diámetro del círculo.

Además, la diagonal del cuadrado verde mide lo mismo que el lado del cuadrado amarillo, por lo que también podemos calcular la longitud de su lado. Si llamamos x al lado del cuadrado verde, se cumple que:

El área de la región verde es:

A = A _círculo – A _{cuadrado amarillo} + A _{cuadrado verde}

Por tanto:

Problema 107

La siguiente figura está formada por un triángulo equilátero, un rectángulo y un cuadrado, los tres con el mismo perímetro.

Si el área del cuadrado es 144 cm², calcula el área de la figura completa.

Solución:

Como el área del cuadrado es 144 cm², sabemos que su lado mide 12 cm y, por tanto, su perímetro es 48 cm.

Como el triángulo es equilátero y su perímetro es igual al del cuadrado, resulta que cada lado del triángulo mide 16 cm.

La base del rectángulo coincide con el lado del triángulo y, si llamamos x a su altura, como su perímetro también es 48 cm, podemos deducir que 32 + 2x = 48, de donde obtenemos que x = 8 cm.

El área de la figura es la suma de las áreas de los tres polígonos.

Área del cuadrado = 144 cm²

Área del rectángulo = 16 · 8 = 128 cm²

Para calcular el área del triángulo debemos hallar su altura, para lo que utilizamos el teorema de Pitágoras:

Ya podemos calcular el área del triángulo:

Así, el área de la figura completa es:

Problema 103

Sabiendo que el radio del semicírculo mayor mide 12 cm, halla el radio del círculo menor. 

Solución:

Consideramos el centro del círculo menor, O, y los centros de los semicírculos pequeños, M y N, y los unimos, obteniendo un triángulo isósceles, tal y como se muestra en la figura siguiente:

La base de dicho triángulo coincide con el diámetro de los semicírculos pequeños, es decir, mide 12 cm.

Si llamamos r al radio del círculo menor, la altura de dicho triángulo es 12 – r, pues el radio del semicírculo mayor mide 12 cm. Y cada uno de los lados iguales del triángulo mide r + 6, ya que el radio de los semicírculos pequeños mide 6 cm.

Utilizando el teorema de Pitágoras, tenemos que:

(12 – r)² + 6² = (r + 6)²

144 + r² – 24 r + 36 = r² + 36 + 12 r

144 = 36 r

r = 144 / 36 = 4

Así, el radio del círculo menor mide 4 cm.

Problema 92

Se tiene un círculo de cartulina cuyo radio mide diez centímetros. Se le recortan seis segmentos circulares iguales, de forma que el círculo se convierte en un hexágono regular.

¿Cuánto mide el perímetro de dicho hexágono?

¿Qué superficie de cartulina se ha recortado?

Solución:

Se observa que el hexágono obtenido está formado por seis triángulos equiláteros, cuyo lado coincide con el radio del círculo inicial. 

Por tanto, el perímetro del hexágono mide 60 centímetros.

Utilizando el teorema de Pitágoras es fácil calcular el área de un triángulo equilátero de lado 10 centímetros:

De esta forma, la superficie del hexágono es:

El área del círculo inicial es:

Así,la cartulina recortada tiene:

Problema 77

Tenemos un prisma cuya base es un cuadrado de lado 10 cm.

Enrollamos una cuerda de un metro de longitud a su alrededor empezando en el vértice A y terminando en el vértice B tras dos vueltas completas, tal y como se muestra en la figura.

¿Cuál es la altura del prisma? 

Solución:

Giramos la figura:

Si cortamos por la arista que une los vértices A y B, y por las aristas de las bases, y extendemos la figura sobre el plano, nos quedaría de la forma siguiente:

La longitud de la cuerda coincide con la suma de las hipotenusas de los triángulos rectángulos AAM y MMB, ambas iguales.

En cada uno de estos triángulos, la longitud del cateto mayor es el perímetro de cada base del prisma, es decir, 40 cm; la del cateto menor es la mitad de la altura del prisma; y la hipotenusa es la mitad de la longitud de la cuerda, luego 50 cm.

Si llamamos x a la mitad de la altura del prisma, y aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos que 50² = 40² + x². Es decir, se cumple que x² = 900, y por tanto, x = 30 cm.

Como consecuencia, la altura del prisma es 60 cm.

Problema 68

Sabiendo que el perímetro del hexágono es 60 cm, calcula el área de la región coloreada de negro.

Solución:

Como el hexágono es regular, cada uno de sus lados mide 10 cm y, además, se descompone en seis triángulos equiláteros de lado 10cm, como se ve en la figura siguiente.

Cada uno de los semicírculos de la figura mide 10 cm de diámetro, por lo que el área de los seis equivale a la de tres círculos de radio 5 cm.

Hallando la longitud de la apotema del hexágono tendremos la longitud del radio del círculo exterior, coloreado de negro, pues será dicha apotema más el radio de un semicírculo. Y dicha apotema coincide con la altura de cada uno de los triángulos.

Aplicando el teorema de Pitágoras, se deduce que dicha altura es:

Ahora podemos calcular todas las superficies que nos interesan:

El área de la región coloreada de negro será:

Problema 60

Calcula el perímetro de la estrella, sabiendo que:

Solución:

Como se trata de un hexágono regular, se descompone en seis triángulos equiláteros de lado 6 cm.

Si llamamos C al punto medio del lado del hexágono, tenemos que la longitud del segmento BC es la de AB menos la apotema del hexágono.

Por tanto, obtenemos que:

Aplicando el teorema de Pitágoras, calculamos la longitud de cada uno de los doce lados que componen el perímetro de la estrella:

Así, el perímetro de la estrella es:

Problema 29

Los triángulos que forman la estrella de la figura son equiláteros. Si el perímetro de la estrella es 48cm, calcula el área del hexágono coloreado.

Solución:

Como el perímetro de la estrella mide 48cm, si llamamos x al lado de cada triángulo, se cumple que 12x= 48 y, por tanto, se deduce que se trata de triángulos equiláteros de lado 4cm.

Para calcular la altura h de cada triángulo, utilizamos el teorema de Pitágoras:

De esta forma, el área de cada triángulo es:

Como el hexágono está formado por 6 de estos triángulos, su área es:

Problema 26

Los cinco cuadrados que forman la cruz de la figura son iguales. ¿Cuál es el área de la cruz si x mide 20 metros?

Solución:

Si llamamos b al lado de cada uno de los cinco cuadrados que forman la cruz, observamos que x es la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden b y 2b, respectivamente. Aplicamos el teorema de Pitágoras:

x² = b² + (2b)² = b² + 4b² = 5b²

Como x mide 20 m, deducimos que 400 = 5b² y, por tanto, b² = 80.

Pero b² es el área de cada uno de los cinco cuadrados de lado b. Así, la superficie de la cruz es 5·b² = 400 m².

Problema 24

El patio de un centro escolar tiene forma de trapecio rectángulo cuyas bases miden 40 m y 32 m, y cuyo lado oblicuo mide 10 m. Para que un grupo de alumnos dé un concierto, se va a colocar un escenario circular que mide 6,28 m de contorno y, en el resto del patio, se van a colocar sillas para el público. Si por cada dos metros cuadrados pueden colocarse 3 sillas, ¿cuántas personas podrán escuchar el concierto sentadas?

Solución:

Fórmulas que cambiaron el mundo

En Muy Interesante puedes encontrar una recopilación de 17 fórmulas que cambiaron el mundo. Fórmulas de Pitágoras, Newton, Euler y otros personajes célebres, y una breve explicación de cada una de ellas, que puedes encontrar en el enlace siguiente.

http://www.muyinteresante.es/ciencia/fotos/las-17-ecuaciones-que-cambiaron-la-historia/formulas-historia-matematicas-pitagoras

Problema 11

Un círculo cuyo radio mide 1 cm está inscrito en un cuadrado, y éste a su vez está inscrito en otro círculo, como se muestra en la figura. ¿Cuántos centímetros mide el radio de éste último círculo? 

Solución:

Del centro de los círculos trazamos segmentos a los puntos de tangencia del círculo menor con el cuadrado:

De esta forma, el cuadrado quedará dividido en cuatro cuadrados de lado 1 cm, y el radio del círculo mayor (marcado en rojo en la figura) será igual a la diagonal de cualquiera de ellos.

Usando el teorema de Pitágoras deducimos que dicho radio mide
  

Utilidad del Teorema de Pitágoras en Medicina

Según una investigación científica publicada en la revista Plos One, el Teorema de Pitágoras es eficaz a la hora de establecer el punto a partir del cual empieza a mejorar la salud de un paciente.

Para leer más sobre la noticia, pincha en el siguiente enlace:

http://noticiasdelaciencia.com/not/12741/un-teorema-de-pitagoras-de-hace-2-500-anos-halla-un-uso-actual-en-analisis-medicos/

Teano

Teano  aparece como la primera mujer matemática de la Historia y muchos de los datos relativos a su vida y obra son confusos, pues varían según las fuentes que se utilicen para determinarlos.

La mayoría de las fuentes coinciden en que nació en Crotona y en que, a instancias de su padre, Milón, recibió clases de matemáticas de Pitágoras, con quien se casó.

A la muerte de su esposo, parece que se hizo cargo de la Escuela Pitagórica con la ayuda de sus hijas. Se le atribuyen algunos tratados de Matemáticas y Medicina.

Si quieres leer más sobre este personaje, pincha sobre estos enlaces.

http://www.cienciaonline.com/2007/09/10/teano-la-primera-mujer-matematica/

http://www.culturamas.es/blog/2014/04/27/teano-la-primera-mujer-matematica/

http://www.mujeresenlahistoria.com/2013/02/la-pitagorica-teano-de-crotona-siglo-vi.html