Optimización

Dado un cilindro de 4 m³ de volumen, calcula sus dimensiones para que sea mínima su área.

Solución:

Si llamamos r al radio de su base y h a su altura, tenemos que el volumen del cilindro es:

Su área, que es la función que debemos minimizar, es:

Para que dependa de una sola variable, sustituimos la h por la expresión que se obtiene al despejarla de la ecuación del volumen:

Derivamos e igualamos a cero, en busca de extremos relativos:

Calculamos la segunda derivada:

Al sustituir en ella el valor obtenido de r, resulta un valor positivo, por lo que en dicho punto se alcanza un mínimo.

El valor de h correspondiente a ese valor de r es:

Así, sus dimensiones han de ser:

Optimización

Se va a construir un depósito cilíndrico de aluminio para almacenar 2000 litros de agua. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que la cantidad de aluminio utilizada sea mínima?

Solución:

Si llamamos r al radio de la base y h a la altura del cilindro, sabiendo que su volumen debe coincidir con los 2000 litros de agua, obtenemos que:

Y de aquí, podemos despejar su altura:  h = 2000/πr²

La función que queremos minimizar es la superficie del cilindro, es decir:

S = 2 π r² + 2 π r h

Para que la función dependa de una sola variable, sustituimos la altura por la expresión despejada anteriormente:

Derivamos e igualamos a cero, en busca de extremos relativos:

Comprobamos si en este punto se alcanza un extremo, sustituyendo en la segunda derivada de la función:

Así, queda comprobado que la función alcanza un mínimo relativo en este valor de r. Y la altura correspondiente es:

Por tanto, el gasto en aluminio será mínimo si las dimensiones del depósito son:

(Puede observarse que la altura del cilindro coincide con el diámetro de su base)

Producción de limones

Un agricultor tiene plantados 250 limoneros en su finca, cada uno de los cuales produce una media de 25 kg de limones. Con los años, ha comprobado que, por cada limonero que planta, la producción media de cada uno de los árboles baja en 0,05 kg.

¿Cuánto limoneros se deben añadir a los existentes para que la cosecha de limones de la finca sea máxima? ¿Cuál sería esa cosecha?

Solución:

Supongamos que se añaden x limoneros a la plantación de la finca.

El número de árboles será 250 + x, y la producción media de cada uno de ellos será 25 – 0,05x kg de limones.

Así, la cosecha total de la finca, que queremos maximizar, es:

C(x) = (250 + x)·(25 – 0,05x)= -0,05x² + 12,5x + 6250

Derivamos e igualamos a cero, en busca de extremos relativos:

C´(x) = - 0, 1 x + 12,5 = 0; x = 12,5/0,1 = 125

Comprobamos con la segunda derivada si se trata de un máximo:

C´´(x) = - 0,1; C´´(125) = - 0,1 <0, luego es máximo

La cosecha máxima se obtendría plantando 125 nuevos limoneros y ascendería a C(125) = -0,05·125² + 12,5·125 + 6250 = 7031,25 kg de limones.

Reto en la clase

Un profesor propone un reto a sus alumnos: a cada uno de ellos le entrega un alambre de 20 cm de longitud y les dice que construyan con él un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos, de forma que a cada uno le subirá en la nota final de la evaluación tantos puntos como dm² tenga la superficie del polígono que haya  construido.

¿Cómo debe ser dicho polígono para obtener la mayor subida posible de nota? ¿Cuánto supondría dicha subida en la nota?

Solución:

Suponemos que el cuadrilátero tiene como dimensiones x e y cm.

Al medir el alambre 20 cm, se deduce que 2x + 2y = 20; es decir, que x  + y = 10; o también, y = 10 – x.

Queremos que la superficie sea máxima, por lo que la función que debemos maximizar es S = x·y pero para que dependa de una sola variable, sustituimos la expresión de y en función de x:

S(x) = x·(10 – x) = 10x – x²

Derivamos e igualamos a cero, en busca de extremos relativos:

S´(x) = 10 – 2x = 0; 2x = 10; x = 5

Calculamos la segunda derivada de la función para comprobar si en el punto de abscisa x = 5 la función alcanza un máximo:

S´´(x) = -2; S´´(5) = -2 < 0

Así, en x = 5 se alcanza dicho máximo y, en ese caso:

y = 10 – x = 10 – 5 = 5

Por tanto, el cuadrilátero que debe construirse es el de mayor superficie, que es un cuadrado de lado 5 cm.

La superficie de este cuadrado es 5² = 25 cm² = 0,25 dm² 

La subida de la nota sería de 0,25 puntos.

Optimización

Con planchas cuadradas de cartón de 400 cm² cada una, se van a construir cajas sin tapa. Para ello, se recortarán cuadrados iguales en cada vértice de una plancha.

¿Cuál debe ser el lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo?

Solución:

Como el área de cada una de las planchas cuadradas es 400 cm², se deduce que la longitud de su lado es 20 cm. Por lo tanto, la figura que se obtiene al recortar los cuadrados de lado x en las esquinas es la siguiente:

La base de la caja que se va a formar es un cuadrado de 20-2x cm de lado y la altura de la caja será x cm. Así, la función que se quiere maximizar, su volumen, es:

f(x) = (20 – 2x)²·x = (400 + 4x² – 80x)x = 4x³ – 80x² + 400x

Derivamos e igualamos a cero, buscando extremos relativos:

f´(x) = 12x² – 160x + 400 = 0; 3x² – 40x + 100 = 0

Resolvemos la ecuación:

Las dos soluciones de la ecuación son x = 10 y x = 20/6 = 10/3, pero la primera no tiene sentido en este problema.

Para ver si en la segunda se alcanza el máximo, calculamos la segunda derivada de la función:

f´´(x) = 24x – 160

f´´(40/3) = 24·(10/3) – 160 = 80 -160 < 0

De esta forma, queda comprobado que si recortamos un cuadrado de lado 10/3 cm en las esquinas, el volumen de la caja será máximo.

Optimización

Halla las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo rectangular, sabiendo que su volumen ha de ser 9 m³, su altura 1 m y que el coste por m² es de 50 € para la base, 60 € para la tapa y 40 € para cada pared lateral.

Solución:

Llamamos x, y, a las dimensiones de la base.

El volumen del depósito es V = x·y·altura = xy = 9 m³, de donde se deduce que y = 9/x

El coste de la base será 50xy, el de la tapa 60xy, y el de las paredes laterales 40(2x + 2y).

Así, la función que se quiere optimizar es:

C = 50xy + 60 xy + 40(2x + 2y) = 110xy + 80(x + y)

Pero, para dejarla en función de una sola variable, utilizamos la expresión de y en función de x:

Derivamos e igualamos a cero para determinar posibles extremos relativos:

(Observamos que la solución x= -3 no es factible al tratarse de la longitud de un lado).

Para comprobar si se trata de un mínimo, calculamos la segunda derivada de la función:

Así, la función C alcanza un mínimo en x = 3, por lo que y = 3 también. Es decir, que el coste es mínimo cuando la base del contenedor es un cuadrado de lado 3 m.

Optimización

El dueño de una papelería observa que si el precio que cobra por una fotocopia es de x céntimos de euro, sus beneficios vienen dados por la expresión B = - x² + 100x – 2300, en euros al día.

a)¿Qué beneficio obtiene si vende las fotocopias a 40 céntimos?

b)¿Qué precio debe poner a cada fotocopia para obtener el máximo    beneficio?

c)¿Cuál será ese beneficio máximo?

Solución:

a)Si las vende a 40 céntimos, el beneficio es:

B(40) = - 40² + 100·40 – 2300 = - 1600 + 4000 – 2300 = 100 euros diarios

b) Derivamos la función B.

B´= - 2x + 100

B´= 0 ⟺ - 2x + 100 = 0 ⟺ x = 50

B´´(50) = - 2 < 0 ⟹ en x = 50 se alcanza un máximo

Luego, debe poner a 50 céntimos cada fotocopia para obtener el máximo beneficio.

c) Ese beneficio máximo es:

B(50) = - 50² + 100·50 – 2300 = - 2500 + 5000 – 2300 = 200 euros diarios.

Optimización

En un triángulo isósceles de 18 cm de perímetro, ¿cuál debe ser la altura para que su superficie sea máxima?

En ese caso, ¿cuánto medirían los lados del triángulo?

Solución:

Consideramos el triángulo con la notación indicada en la figura.

Como el perímetro es 18 cm, sabemos que 2x + 2y = 18, lo que equivale a que x+y = 9. Luego y = 9 – x.

La función que queremos optimizar es su superficie, es decir, la función S = 2x·h/2 = x·h

Para dejar S en función de una sola variable, intentamos expresar x en función de la altura, para lo que utilizamos el teorema de Pitágoras:

x² + h² = y²; x² + h² = (9-x)²; x² + h² = 81 + x² – 18x;

h² – 81 = -18x; x= (81 – h²)/18

Así, ya podemos escribir la función de la forma siguiente:

Calculamos su derivada e igualamos a cero:

Así, la superficie del triángulo es máxima cuando su altura es:

En este caso, los lados del triángulo miden:

Luego, se observa que se trata de un triángulo equilátero, cuyos lados miden 6 cm.

Optimización

Se quiere cercar  un terreno rectangular con 60 m de valla de forma que la superficie encerrada sea máxima. ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno?

Solución:

Sean x e y el largo y el ancho del terreno, respectivamente. 

Como la valla que se va a utilizar mide 60 m, dicha longitud ha de coincidir con el perímetro del terreno y, de esta forma, sabemos que se debe cumplir 2x + 2y = 60, lo que equivale a que x + y = 30.

Es decir, y = 30 – x.

El área del rectángulo, en este caso el terreno, es S = x·y.

Como esta superficie debe ser máxima, la función que vamos a optimizar es S(x) = x·(30 – x) = 30x – x².

Derivamos la función y la igualamos a cero:

S´(x) = 30 – 2x = 0; 30 = 2x; x = 15

Calculamos la segunda derivada de la función en x = 15:

S´(x) = - 2, para cualquier x

Por tanto, se cumple que S´(15) = 0 y S´´(15) < 0, lo que nos asegura que la función alcanza el máximo en x = 15. Y para este valor de x, se tiene que y = 30-15 = 15.

Luego el terreno de mayor superficie encerrada por la valla es un cuadrado de lado 15 m.

Optimización

El rendimiento físico (evaluado en una escala de 0 a 100) de un deportista durante una prueba de 15 minutos de duración queda bien descrito a través de la función:

R(t)= a t²+ b t + c    con   0 ≤ t ≤ 15     (a ≠ 0)

Sabiendo que alcanza el máximo rendimiento de 100 a los 10 minutos y que finaliza la prueba con un rendimiento de 75, calcula, justificando la respuesta, los coeficientes a, b y c.

Solución:

Si alcanza un máximo en t = 10, se verifica que R´ (10) = 0.

Si ese máximo rendimiento es de 100, se cumple que R (10) = 100.

Como la prueba la ha terminado con un rendimiento de 75, se cumple que R (15) = 75.

Estas tres condiciones se traducen en las ecuaciones siguientes:

R´(10) = 2·a·10 + b = 0; es decir, 20a + b= 0

R (10) = a·10² + b·10 + c = 100; es decir, 100a + 10b + c = 100

R (15) = a·15² + b·15 + c = 75; es decir, 225a + 15b + c = 75

De la primera ecuación se despeja b = - 20a y sustituimos esta expresión en las otras dos ecuaciones, obteniendo el sistema:

100a – 200a + c = 100; - 100a + c = 100

225a – 300a + c = 75; - 75a + c = 75

Restando ambas ecuaciones, se deduce que 25a = - 25 y, por tanto,   a = -1. A partir de este valor, se calculan con facilidad los valores b = 20 y c = 0.

Optimización.

Determinar las dimensiones de una piscina abierta al aire, de volumen 32 m³, con un fondo cuadrado y con la misma profundidad en todos sus puntos, de manera que la superficie de sus paredes y del fondo sea mínima.

Solución:

Si llamamos x al lado del cuadrado que forma el fondo de la piscina e y a la profundidad, en el dibujo siguiente se muestra la superficie de sus paredes y del fondo:

Por tanto, se deduce que la función superficie que queremos minimizar es S = x² + 4xy.

Como el volumen de la piscina es 32 = x²y, despejamos la variable y de esta ecuación:

La sustituimos en la función S para que esta función dependa sólo de la variable x:

Derivamos la función e igualamos a cero para buscar el mínimo relativo:

Comprobamos que se trata de un mínimo:

Si x=4, se verifica que y=32/16=2 m.

Así, la piscina debe medir 2 m de profundidad y su base 4 m de lado.

Optimización

Descomponer el número 45 en dos sumandos tales que la suma del doble del cuadrado del primero más siete veces el cuadrado del segundo, sea mínima.

Solución:

Si x es el primer sumando, el otro será 45-x.

La función que queremos minimizar es:

S(x) = 2x²+7(45-x)² = 2x²+14175+7x²–630x = 9x²–630x+14175

Igualamos la derivada  cero y obtenemos la ecuación de segundo grado 18x-630=0, cuya solución es 35.

Como la segunda derivada de la función suma es S´´(x)= 18, se tiene que S´´(35)>0. Así, si x=35, la suma mencionada es mínima.

Luego, para que la suma sea mínima, el número 45 hay que descomponerlo en los sumandos 35 y 10. 

Optimización

El frutero de mi barrio observa que si el precio al que vende el kg de patatas es x céntimos de euro, sus beneficios vendrán dados por la expresión B (x) = - x² + 100 x – 2300, en euros, al día.

1) ¿Qué beneficio obtiene si vende el kg a 40 céntimos?

2) ¿Qué precio debe poner al kg para obtener un beneficio máximo?

3) ¿Cuál será ese beneficio máximo?

Solución:

1)El beneficio es B (40) = - 40² + 100·40 – 2300 = 100 €

2)Calculamos los posibles extremos relativos:

B´(x) = - 2x + 100 = 0; 2x = 100; x = 50

B´´ (x) = -2; B´´ (50) = -2 < 0

Por tanto, se alcanza un beneficio máximo cuando el precio del kg sea de 50 céntimos.

3) El beneficio máximo es B (50) = - 50² + 100·50 – 2300 = 200 €

Optimización

Una compañía de alquiler de bicicletas ha comprobado que el número de alquileres (N) diarios depende del precio del alquiler por todo el día (p) según la expresión: N(p) = 300 -6 p.

a) Da la expresión que nos proporciona los ingresos diarios (I) de esa     compañía en función del precio del alquiler.

b) ¿Qué ingreso diario se obtiene si el precio del alquiler es 15 euros?

c) ¿Cuál es el precio del alquiler que hace máximo los ingresos diarios?

d) ¿Cuáles son esos ingresos máximos?

Solución:

a) Los ingresos diarios los obtenemos multiplicando el número de alquileres diarios por el precio del alquiler, es decir, si I(p) es la función de los ingresos:

 I(p) = (300 – 6p) · p = 300 p – 6 p²

b) I (15) = 300 · 15 – 6· 15² = 4500 – 6·225 = 3150 €

c) Para obtener el ingreso máximo estudiamos sus extremos relativos.

I´(p) = 300 – 12 p ; I´(p) = 0 ; 300 – 12 p = 0

Luego p = 25

Para ver si los ingresos son máximos estudiamos la segunda derivada:

I´´(p) = –12 ; I´´(25) = –12 < 0

Por tanto, si el precio del alquiler por un día es de 25 € los ingresos son máximos.

d) Los ingresos máximos los tenemos sustituyendo el valor obtenido en la función que nos da los ingresos.

I(25) =  300 · 25 – 6 · 25² = 7500 – 3750 = 3750 €

Optimización

Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para 13,5 metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el menor posible.

Solución:

Sean x e y la longitud del lado de la base y la altura respectivamente.

Utilizando la función volumen, despejamos la relación entre dichas variables.

De esta forma, la función que vamos a optimizar es:

Derivamos para obtener los posibles extremos relativos:

Igualamos a cero: f´(x) = 0 ⇒ en x = 3 posible máximo ó mínimo.

Sustituyendo en la segunda derivada se comprueba que hay un mínimo para  x = 3 (f´´(3)>0) y sustituyendo este valor de x en la expresión de y, obtenemos que y = 1,5.

Por tanto, para que se precise la menor cantidad de chapa, la base debe ser un cuadrado de lado 3 m y la altura 1,5 m.