Problema 59

Encuentra un número capicúa de seis cifras, sabiendo que cumple las condiciones siguientes:

-Es múltiplo de 8.

-El producto de todas sus cifras es 44100.

Solución:

Si tiene seis cifras y es capicúa, será de la forma abccba.

El producto de sus cifras es a·b·c·c·b·a = 

= a²·b²·c² = (a·b·c)².

Por tanto, sabemos que (a·b·c)² = 44100 = 210² y, entonces, se cumple que a·b·c = 210 = 2·3·5·7. Como a, b y c son números de una cifra, necesariamente uno de ellos ha de ser 6, otro 5 y el que queda 7.

Como el número de seis cifras es múltiplo de 8, debe ser par. Así, ha de terminar en 6 (ya que 5 y 7 son impares) y esto hace necesario que a =6.

De esta forma, solo quedan dos opciones posibles: que el número sea el 657756 o el 675576. Pero es fácil comprobar que el primero de ellos no es divisible por 8 mientras que sí lo es el segundo.

Así, el número buscado es el 675576.

Problema 45

Tenemos un número capicúa de cuatro cifras tal que si multiplico sus cifras obtengo un número una unidad mayor que el que obtengo si las sumo. Además, la primera cifra del número es dos unidades mayor que la segunda cifra. ¿De qué número se trata?

Solución:

El número será de la forma abba.

Debe cumplirse que a·b·b·a = a+b+b+a+1

Así, a² b² = 2a+2b+1; es decir, a² b² - 2a - 2b = 1.

Pero también sabemos que b = a -2, y si sustituimos esta expresión en la ecuación anterior tenemos que:

a²(a-2)² – 2a – 2(a-2) = 1 ⟺ a²(a²+4-4a)- 2a -2a +4 = 1

Simplificando, obtenemos que a⁴ – 4 a³ + 4 a² – 4 a + 3 = 0

Descomponiendo el polinomio en producto de factores, resulta que:

(a – 3)(a – 1)(a² + 1) = 0

Las soluciones reales de esta ecuación son a=3 y a=1, pero la última no es válida en nuestro problema pues b resultaría negativo. Luego a=3 y b= a – 2 = 1.

Así, el número buscado es 3113.

Problema 5

Todos los números capicúas comprendidos entre 1000 y 2000 tienen un factor común. ¿Cuál es?

Solución:

Todos los capicúas entre 1000 y 2000 son de la forma 1aa1. Es decir, que se pueden descomponer como:

1 + a·10 + a·100 + 1· 1000 =

= 1 + a·(10 + 100) + 1000 =

= 1001 + 110 a = 91 · 11 + 10 · 11 · a = 11 · (91 + 10 a)

Así, se observa que todos son múltiplos de 11, que es el factor común buscado.

Problema 3

Todos los números capicúas comprendidos entre 1000 y 2000 tienen un factor común. ¿Cuál es?

Solución:

Todos los capicúas entre 1000 y 2000 son de la forma 1aa1. 

Es decir, que se pueden descomponer como:

1 + a·10 + a·100 + 1· 1000 =

= 1 + a·(10 + 100) + 1000 =

= 1001 + 110 a = 91 · 11 + 10 · 11 · a = 11 · (91 + 10 a)

Así, se observa que todos son múltiplos de 11, que es el factor común buscado.