Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado.

1.Resuelve la siguiente ecuación:

5·(4 x – 6) + 7 x – 7·(x + 12) = - 3 x + 1

Solución:

Utilizando la propiedad distributiva, quitamos los paréntesis:

20 x – 30 + 7 x – 7x – 84 = - 3 x + 1

Simplificamos en los dos miembros de la ecuación:

20 x – 114 = - 3 x + 1

Utilizamos, para terminar, las transformaciones de equivalencia:

20 x – 114 + 3 x = - 3 x + 1 + 3 x

23 x – 114 =  1

23 x – 114 + 114 =  1 + 114

23 x = 115

23 x·(1/23) = 115·(1/23)

x = 115/23 = 5

Así, la solución de la ecuación es x = 5.

2.Resuelve la siguiente ecuación:

12 x – 6 + 2·(3x – 7) + 6 x = 4·(- 2 x + 3)

Solución:

Utilizando la propiedad distributiva, quitamos los paréntesis:

12 x – 6 + 6 x – 14 + 6 x = - 8 x + 12

Simplificamos en los dos miembros de la ecuación:

24 x – 20 = - 8 x + 12

Utilizamos, para terminar, las transformaciones de equivalencia:

24 x – 20 + 8 x = - 8 x + 12 + 8 x

32 x – 20 =  12

32 x – 20 + 20 =  12 + 20

32 x = 32

32 x·(1/32) = 32·(1/32)

x = 32/32 = 1

Así, la solución de la ecuación es x = 1.

3.Resuelve la siguiente ecuación:

Solución:

El mínimo común múltiplo de los denominadores es 30, por lo que reducimos todos los términos de la ecuación a denominador común  igual a 30.

Multiplicando todos los términos por 30 y simplificando desaparecen los denominadores, y obtenemos la siguiente ecuación equivalente a la inicial:

30·7 x + 10·(x – 2) + 30·6 = 6·3 x – 5·13

Resolvemos esta ecuación:

210 x + 10 x – 20 + 180 = 18 x – 65

220 x + 160 = 18 x – 65

220 x + 160 – 18 x = 18 x – 65 – 18x

202 x + 160 = – 65

202 x + 160 – 160 = – 65 – 160

202 x = - 225

Así, la solución de la ecuación es: x = - 225/202

4.Resuelve la siguiente ecuación:

Solución:

El mínimo común múltiplo de los denominadores es 24, por lo que reducimos todos los términos de la ecuación a denominador común  igual a 24.

Multiplicando todos los términos por 24 y simplificando desaparecen los denominadores, y obtenemos la siguiente ecuación equivalente a la inicial:

6·7 x + 8·5 + 24·6 x = 3·5 x – 24·9

Resolvemos esta ecuación:

42 x + 40 + 144 x = 15 x – 216

186 x + 40 = 15 x – 216

186 x + 40 – 15 x = 15 x – 216 – 15x

171 x + 40 = – 216

171 x + 40 – 40 = – 216 – 40

171 x = - 256

Así, la solución de la ecuación es: x = - 256/171

5.Encuentra el valor de a para que la solución de la ecuación siguiente sea x = 2.

3·(2 x + 1) + 9 – 7·(x + a) = 4  x + 8 a

Solución:

Utilizando la propiedad distributiva, quitamos los paréntesis:

6 x + 3 + 9 – 7x – 7 a = 4 x + 8 a

Simplificamos en los dos miembros de la ecuación:

- x + 12 – 7 a = 4 x + 8 a

Utilizamos, para terminar, las transformaciones de equivalencia:

- x + 12 – 7 a - 4 x = 4 x + 8 a - 4 x

- 5 x + 12 – 7 a =  8 a

- 5 x + 12 – 7 a – 12 + 7 a =  8 a – 12 + 7 a

- 5 x = 15 a - 12

- 5 x·(-1/5) = (15 a – 12) ·(-1/5)

x = (- 15 a + 12)/5

Para que la solución sea x = 2, debe cumplirse la expresión siguiente:

2 = (- 15 a + 12)/5

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por 5, se tiene que:

10 = - 15 a + 12

Utilizando de nuevo las transformaciones de equivalencia, despejamos el valor de a:

10 + 15 a – 10 = - 15 a + 12 + 15 a – 10

15 a = 2

15 a ·1/15 = 2 ·1/15

a = 2/15

Por tanto, para que la solución de la ecuación dada sea x = 2, el valor que debe tomar a es 2/15.

Ecuaciones de primer grado y de segundo grado, con una incógnita.

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Definición de ecuación y tipos de ecuaciones.

Ecuaciones de primer grado.

Ecuaciones de segundo grado.

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado.

Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado.

Problemas resueltos con ecuaciones de primer y segundo grado.

Ecuaciones de primer grado.

Cualquier ecuación lineal o de primer grado con una incógnita se puede transformar hasta obtener una equivalente de la forma:

a x + b = 0  ,  siendo  a distinto de 0

Las transformaciones que se hacen en la ecuación inicial para obtener una expresión de este tipo  se basan en las siguientes reglas:

-  Si a los dos miembros de una ecuación se les suma una misma expresión algebraica, las soluciones de la ecuación no varían.

-  Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica por un número distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada.

(Recuerda que el primer miembro es el situado a la izquierda del signo =, y el segundo miembro es el situado a su derecha).

Estas transformaciones de equivalencia se utilizan para resolver ecuaciones.

Así, la solución de una ecuación del tipo a x + b = 0 con a distinto de 0 es x = - b/a.

En efecto:

a x + b = 0 ;  a x + b - b = 0 - b ; a x = - b

Como a no es 0, a·x· (1/a)  = - b · (1/a), y por tanto, x = - b/a.

Ejemplo:

Resolvamos la ecuación 7x - 3 = 5x + 4.

Sumamos - 5x a los dos miembros y simplificamos:

7x - 3 - 5x = 5x + 4 - 5x 

  2x - 3 = 4

Sumamos 3 a los dos miembros y simplificamos:

2x - 3 + 3 = 4 + 3 

 2x = 7

Multiplicamos por 1/2 los dos miembros y simplificamos: 

2 · x · 1/2 = 7 · 1/2  

 x = 7/2

El proceso seguido anteriormente es el método algebraico de resolución de ecuaciones lineales. Pero también es posible resolver este tipo de ecuaciones gráficamente.

Para ello, dada la ecuación a x + b = 0, consideramos la función      y = a x + b, que es una función lineal cuya representación gráfica es una recta. La intersección de esta recta con el eje de abscisas nos da el punto en el cual la ordenada y  toma el valor cero. El valor de la abscisa x de dicho punto es la solución de la ecuación.

Ejemplo:

Si queremos resolver gráficamente la ecuación x-3 =0, consideramos la función y = x -3, y utilizando una tabla de valores la representamos en los ejes cartesianos.

La gráfica correspondiente es la siguiente:

En su gráfica se observa que el punto de intersección de la recta con el eje de abscisas es (3, 0); así, la solución de la ecuación es x = 3.

A veces, las ecuaciones contienen términos con denominadores. En estos casos, para conseguir ecuaciones equivalentes sin ellos, reducimos todos los términos a denominador común (que será el mínimo común múltiplo de todos los denominadores de la ecuación). Y, una vez hecho esto, multiplicamos los dos miembros de la ecuación por dicho mínimo común múltiplo, y ya podremos resolverla como en los casos vistos anteriormente.

Ejemplo:

Resolvamos la ecuación siguiente:

Como el mínimo común múltiplo de 2, 4 y 3 es 12, reducimos todos los términos a denominador 12:

Si ahora multiplicamos los dos miembros de la ecuación por 12, se simplifica y desaparecen todos los denominadores, por lo que la ecuación es equivalente a la siguiente:

Es decir:

Y mediante las transformaciones de equivalencia, la podemos reducir de la forma siguiente:

Así, la solución de la ecuación es x = 21/10.