Problemas resueltos con ecuaciones bicuadradas

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Ejercicios resueltos de ecuaciones bicuadradas.

1.Resuelve la ecuación siguiente:

2 x⁴ – 26 x² + 72 = 0

Solución:

Observamos que todos los coeficientes son múltiplos de 2, por lo que podemos simplificar la ecuación dividiendo por este número todos sus términos, y obtenemos la ecuación equivalente siguiente:

 x⁴ – 13 x² + 36 = 0

Al tratarse de una ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable t = x², que implica también que t² = x⁴, y así, la ecuación bicuadrada se transforma en la siguiente ecuación de segundo grado:

t² – 13 t + 36 = 0

Como se trata de una ecuación completa, utilizamos la fórmula general de resolución:

Luego las soluciones de la ecuación son t₁ = (13 + 5)/2 = 9  y   t₂ = (13 – 5)/2 = 4.

Hemos de deshacer el cambio de variable para resolver la ecuación bicuadrada, lo que supone aplicar que los valores de x serán las raíces cuadradas de los valores de t.

Como las raíces cuadradas de 9 son 3 y – 3, y las de 4 son 2 y  – 2, concluimos que las soluciones que buscamos de la ecuación inicial son:

x₁ = 3, x₂ = - 3, x₃ = 2, x₄ = - 2

2.Resuelve la ecuación siguiente:

 3 x⁴ – 24 x² + 48 = 0

Solución:

Observamos que todos los coeficientes son múltiplos de 3, por lo que podemos simplificar la ecuación dividiendo por este número todos sus términos, y obtenemos la ecuación equivalente siguiente:

 x⁴ – 8 x² + 16 = 0

Al tratarse de una ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable t = x², que implica también que t² = x⁴, y así, la ecuación bicuadrada se transforma en la siguiente ecuación de segundo grado:

t² – 8 t + 16 = 0

Como se trata de una ecuación completa, utilizamos la fórmula general de resolución:

Así, las soluciones de la ecuación dada son t₁ = (8 + 0)/2 = 4  y  t₂ = (8 – 0)/2 = 4. Es decir, la ecuación dada tiene una única solución doble.

Hemos de deshacer el cambio de variable para resolver la ecuación bicuadrada, lo que supone aplicar que los valores de x serán las raíces cuadradas de los valores de t.

Como las raíces cuadradas de 4 son 2 y  – 2, concluimos que las soluciones que buscamos de la ecuación inicial son:

x₁ = x₂ = 2, x₃ = x₄ = - 2

Es decir, tiene dos soluciones dobles.

3.Resuelve la ecuación siguiente:

 - 4 x⁴ - 28 x² - 40 = 0

Solución:

Observamos que todos los coeficientes son múltiplos de - 4, por lo que podemos simplificar la ecuación dividiendo por este número todos sus términos, y obtenemos la ecuación equivalente siguiente:

 x⁴ + 7 x² + 10 = 0

Al tratarse de una ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable t = x², que implica también que t² = x⁴, y así, la ecuación bicuadrada se transforma en la siguiente ecuación de segundo grado:

t² + 7 t + 10 = 0

Como se trata de una ecuación completa, utilizamos la fórmula general de resolución:

Las soluciones de la ecuación dada son t₁ = (- 7 + 3)/2 = - 2  y   t₂ = (- 7 – 3)/2 = - 5.

Hemos de deshacer el cambio de variable para resolver la ecuación bicuadrada, lo que supone aplicar que los valores de x serán las raíces cuadradas de los valores de t.

Como las raíces cuadradas de – 2 y de - 5 no existen en el conjunto de los números reales, concluimos que la ecuación bicuadrada no tiene solución en este conjunto de números. Es decir, es una ecuación incompatible en el conjunto de los números reales.

4.Resuelve la ecuación siguiente:

 3 x⁴ - 27 = 0

Solución:

Observamos que todos los coeficientes son múltiplos de 3, por lo que podemos simplificar la ecuación dividiendo por este número todos sus términos, y obtenemos la ecuación equivalente siguiente:

 x⁴ – 9 = 0

Al tratarse de una ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable t = x², que implica también que t² = x⁴, y así, la ecuación bicuadrada se transforma en la siguiente ecuación de segundo grado:

t² – 9 = 0

Se trata de una ecuación incompleta que no tiene término de primer grado por lo que para resolverla nos basta con despejar la incógnita:

Así, sus soluciones son t₁ = 3 y t₂ = - 3.

Hemos de deshacer el cambio de variable para resolver la ecuación bicuadrada, lo que supone aplicar que los valores de x serán las raíces cuadradas de los valores de t.

Como las raíces cuadradas de – 3 no existen en el conjunto de los reales, resulta que la ecuación bicuadrada tiene sólo dos soluciones reales que son:

5.Resuelve la ecuación siguiente:

  7 x⁴ – 35 x² = 0

Solución:

Observamos que todos los coeficientes son múltiplos de 7, por lo que podemos simplificar la ecuación dividiendo por este número todos sus términos, y obtenemos la ecuación equivalente siguiente:

 x⁴ – 5 x² = 0

Al tratarse de una ecuación bicuadrada, hacemos el cambio de variable t = x², que implica también que t² = x⁴, y así, la ecuación bicuadrada se transforma en la siguiente ecuación de segundo grado:

t² – 5 t = 0

Se trata de una ecuación incompleta que no tiene término independiente por lo que para resolverla nos basta con extraer la incógnita como factor común:

t·(t – 5) = 0

Para que este producto sea nulo, o bien t = 0, o bien t – 5 = 0.

Así, las soluciones de la ecuación son t₁ = 0 y t₂ = 5.

Hemos de deshacer el cambio de variable para resolver la ecuación bicuadrada, lo que supone aplicar que los valores de x serán las raíces cuadradas de los valores de t.

Como las raíces cuadradas de 0 son ambas iguales a cero, resulta que las soluciones de la ecuación bicuadrada inicial son:

Ecuaciones bicuadradas.

Se llama ecuación bicuadrada a la que es de cuarto grado pero no tiene términos de grado impar. Por tanto, tendrá términos de grado cuatro, de grado dos y términos independientes.

Mediante las transformaciones de equivalencia, podemos expresar cualquier ecuación bicuadrada en la forma a x⁴ + b x² + c = 0, siendo a distinto de cero. 

Para resolver estas ecuaciones utilizamos un cambio de variable, que consiste en hacer t = x². Ello supone que t² = x⁴, y que la ecuación bicuadrada se transforma en la ecuación de segundo grado siguiente:

 a t² + b t + c = 0

Resolvemos esta última con la fórmula general:

Así encontramos los valores de t que son solución de la ecuación de segundo grado.

Y entonces hay que deshacer el cambio de variable para encontrar las soluciones de la ecuación bicuadrada. Teniendo en cuenta que t = x², es fácil comprender que los valores de x serán las raíces cuadradas de los valores de t.

Por tanto, por cada solución de la ecuación de segundo grado existirán dos soluciones de la bicuadrada (la raíz cuadrada positiva y la negativa).

Ejemplo:

Resolvamos la ecuación x⁴ – 13 x² + 36 = 0.

Si llamamos t = x², la ecuación anterior se transforma en la de segundo grado siguiente, que resolvemos:

t² – 13 t + 36 = 0

De esta forma, sus soluciones son:

Al deshacer el cambio de variable, hemos de calcular las raíces cuadradas de t₁ = 9 y de t₂ = 4, obteniendo que las soluciones de la ecuación bicuadrada inicial son:

x₁ = 3, x₂ = - 3, x₃ = 2, x₄ = - 2

Ejercicios resueltos de ecuaciones bicuadradas.